Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез

Задание 2. Линейная корреляция

Дано корреляционное поле в виде таблицы

Вычислить коэффициент корреляции. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X , построить корреляционное поле и нанести на него линию прямой регрессии Y на X.

Решение. Определим выборочные средние значения для каждой случайной величины

, .

Найдем теперь значения исправленных выборочных дисперсий для каждой случайной величины

,

.

Исправленная эмпирическая ковариация и коэффициент корреляции равны величинам

.

Эмпирический коэффициент регрессии Y на X находится по формуле

.

Уравнение прямой регрессии Y на X записывается в следующем виде

.

Рис.2 . Корреляционное поле и линия регрессии Y на X.

Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез

Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины в виде таблицы. Случайная величина имеет смысл числа отказов. Частоты наблюдений отказов обозначены . Используя критерий , проверить на уровне значимости гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Решение. Дана таблица

Найдем объем выборки по формуле

.

Число описывает число групп данных, приведенных в таблице наблюдений.

Вычислим оценку параметра распределения в законе для редких событий Пуассона

.

Формула Пуассона закона распределения вероятностей имеет следующий вид

,

где – число появлений заданного события, в нашем примере это число отказов.

Проведем расчеты вероятностей

.

Найдем теоретические частоты , применяя расчетную формулу

,

в которой величина означает номер группы данных в таблице отказов. Подставим теоретические частоты в таблицу расчета эмпирического критерия Пирсона

Эмпирический критерий находится путем суммирования данных, размещенных в последнем столбце таблицы расчета критерия Пирсона

,

где – общее число значимых групп данных.

Воспользуемся таблицами теоретического распределения, которое является функцией двух переменных ( – уровня значимости и числа степеней свободы )

Поскольку выполнено неравенство

,

то статистическую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по закону редких событий Пуассона следует отвергнуть. При этом риск отвергнуть правильную гипотезу равен уровню значимости, т.е. в примере этот риск равен пяти процентам.

Задание 4. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения

Задание 5

Решим задачу со следующими данными: n=32, n1=6, n₂= 6, n₃= 16 и n₄= 4.

Отнесем к 1-му разряду тех студентов, которые получили 5 баллов (6 человек), ко 2-му разряду – 4 балла (6 человек), к 3-му – 3 балла (16 человек) и к 4-му – тех, кто получил 2 балла (4 человека). Если бы в каждом разряде было одинаковое количество студентов, то распределение оценок было бы равномерным. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, статистически достоверно отличается от равномерного распределения.

Вычислим теоретическую частоту по формуле: f_теор = n/k, где n– количество наблюдений, k – количество разрядов. В нашем случае: f_теор = 32/4 = 8. Сравним с этой частотой все эмпирические частоты. Составим таблицу и все вычисления выполним в ней.

Таблица

Вычислим число степеней свободы n = к-1 = 4-1 = 3. Найдем по таблице критические значения: c²_кр = 7.815 для a = 0.05, c²_кр = 11.345 для a = 0.01. В соответствии с правилом принятия решения гипотезу Н₀ следует отвергнуть. Распределение полученных оценок отличается от равномерного, но так как c²_эмп < 11.345, статистически достоверно утверждать, что перед нами – группа «троечников» мы не можем.

Задание 6.

В таблице (ниже) представлены значения вербального интеллекта, полученные у студентов-физиков и студентов-психологов. Превосходят ли студенты-психологи студентов-физиков по уровню вербального интеллекта?