Утверждаю
декан морского факультета
_____________ С. П. Голиков
«______» ____________ 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
для специальности «Судовождение»
по направлению 6.070104 «Морской и речной транспорт»
образовательно-квалификационный уровень – бакалавр
Форма обучения
| Нормативные данные
|
Курс
| Семестр
| Всего часов / кредитов ECTS
| Лекции, часов
| Лабораторные работы, часов
| Практические занятия, часов
| Всего аудиторных часов
| Самостоятельная работа,
часов
| курсовой проект (работа),
часов/ кредитов ЕСТS
| Семестровый контроль
|
дневная
|
|
| 162/4,5
|
| --
|
|
|
| --
| экзамен
|
| 108/3
|
|
|
|
| экзамен
|
Итого
|
|
| 270/7,5
|
|
|
|
|
|
Рабочая программа составлена на основании типовой программы дисциплины и рабочего учебного плана с учетом требований ОПП
Программу разработала Егорова С.Н., старший преподаватель кафедры ВМиФ КГМТУ
Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики КГМТУ
Протокол № ___ от _________ 2012 г. Зав. кафедрой ВМиФ ____________Т.Н. Попова
Рассмотрено на заседании выпускающей кафедры «Судовождение» КГМТУ
Протокол № ___ от _________ 2012 г. Зав. кафедрой ОПРП ____________ Г.И. Пазынич
Согласовано учебной частью _____________________________ _________________2012г.
Цель и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
Учебная дисциплина «Высшая математика» является фундаментальной дисциплиной, которая обеспечивает базовую подготовку судоводителя. Она предназначается для обеспечения студента знаниями и навыками, необходимыми для изучения общеинженерных и профилирующих дисциплин. Содержание дисциплины в значительной мере определяет уровень общенаучной подготовки судоводителя.
Дисциплина имеет цель:
- выработать у студентов навыки в математическом исследовании различных технологических проблем;
- развить логическое мышление, пространственное воображение;
- овладеть основными методами высшей математики и реализацией их на ЭВМ;
- приобрести умение самостоятельно расширять математические знания и производить математический анализ прикладных задач.
Основные задачи курса:
- повысить уровень фундаментальной подготовки;
- усилить прикладную направленность курса математики к требованиям специальности.
Курс высшей математики является базой для изучения таких общеобразовательных и специальных курсов как:
- физика;
- теоретическая механика;
- сопротивление материалов;
- компьютерная техника;
- математические основы судовождения;
- математическая статистика в судовождении и др.
Требования к знаниям, умениям и навыкам студента
В результате изучения курса «Высшая математика» студент должен в 1-м семестре
ЗНАТЬ:
Понятия определителя, матрицы. Схему исследования СЛАУ. Геометрические системы координат на плоскости и в пространстве. Элементы векторной алгебры. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка. Теорию пределов. Производные и их применение. Построение графиков функций. Понятие функции двух переменных, частных производных, градиента.
УМЕТЬ:
Вычислять определители. Решать системы линейных алгебраических уравнений тремя способами. Уметь применять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов для решения задач геометрии, механики, физики. Решать задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Проводить прямую и обратную линейную интерполяцию. Различать и строить кривые и поверхности второго порядка по их каноническому и общему уравнениям. Дифференцировать функции и строить их графики. Решать задачи оптимизации. Использовать дифференциал функции в приближённых вычислениях. Проводить обработку результатов наблюдений методом наименьших квадратов.
В результате изучения курса «Высшая математика во 2-м семестре студент должен
ЗНАТЬ: Понятие и свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования рациональных, тригонометрических и некоторых иррациональных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формулу Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Методы вычисление площади криволинейной трапеции, объёма и поверхности тела. Классификацию дифференциальных уравнений 1-го (с разделяющимися переменными, однородные и линейные) и 2-го порядка (допускающие понижение порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами) и методы их решения.
УМЕТЬ: Находить неопределенные интегралы, применяя методы непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям. Вычислять определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница. Вычислять площади криволинейных трапеций, объёмы и поверхности тел. Решать дифференциальные уравнения 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные и линейные). Решать линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Описывать технические и природные процессы с помощью дифференциальных уравнений.
Структура дисциплины
Дисциплина «Высшая математика» в первом семестре содержит 1 зачетный кредит, который состоит из двух зачетных модулей.
Тема
| Общее кол-во часов
| Кол-во аудит. часов
| Часов по видам занятий
|
Лекции
| Лаб. работы
| Практич. занятия
| Самост. работа
|
Зачетный кредит 1
|
Зачетный модуль 1
|
Содержательный модуль 1 «Элементы линейной алгебры»
Понятие и методы вычисления определителей. Матрицы. Действия с матрицами. Понятие СЛАУ. Исследование и решение систем уравнений методами Крамера, матричным, Гаусса.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 2«Элементы векторной алгебры»
Понятие вектора. Геометрические и аналитические действия над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 3 «Элементы аналитической геометрии»
Системы координат на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи. Различные уравнения прямой на плоскости, в пр-ве и плоскости в пр-ве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Линейные неравенства. Понятие линейной интерполяции. Кривые и поверхности второго порядка.
|
|
|
| --
|
|
|
Модульный контроль 1: контрольная работа (10 баллов)
|
Зачетный модуль 2
|
Содержательный модуль 4 «Введение в анализ»
Понятие функции. Основные элементарные функции. Свойства. Преобразования графиков. Предел последовательности, предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функций. Точки разрыва.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 5 «Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной»
Понятие производной функции. Производные различных функций. Дифференциал функции, производные высших порядков. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций и построение графиков.
|
|
|
| --
|
|
|
Модульный контроль 2: контрольная работа (10 баллов)
|
Всего часов
|
|
|
| --
|
|
|
Семестровый контроль (50 баллов)
|
| | | | | | | | | |
Дисциплина «Высшая математика» во втором семестре содержит 1 зачетный кредит, который состоит из двух зачетных модулей.
Тема
| Общее кол-во часов
| Кол-во аудит. часов
| Часов по видам занятий
|
Лекции
| Лаб. работы
| Практич. занятия
| Самост работа
|
Зачетный кредит 2
|
Зачетный модуль 1
|
Содержательный модуль 6 «Функции нескольких переменных»
Функции нескольких переменных. Частные производные. Оценка погрешности с помощью дифференциала. Градиент. Метод наименьших квадратов.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 7 «Комплексные числа. Многочлены»
Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Разложение многочлена на множители.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 8 «Неопределённый интеграл»
Понятие неопределенного интеграла. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования разных классов элементарных функций.
|
|
|
| --
|
|
|
Модульный контроль 1: контрольная работа (10 баллов)
|
Зачетный модуль 2
|
Содержательный модуль 9 «Определенный интеграл»
Определенный интеграл. Основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 10 «Приложения определенного интеграла»
Вычисление площадей, объемов тел вращения, длины дуги кривой. Физические приложения определенного интеграла.
|
|
|
| --
|
|
|
Содержательный модуль 11 «Дифференциальные уравнения»
Дифференциальные уравнения 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные и линейные). Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения механических колебаний.
|
|
|
| --
|
|
|
Модульный контроль 2: контрольная работа (10 баллов)
|
Всего часов
|
|
|
|
|
|
|
Семестровый контроль (50 баллов)
|
| | | | | | | | | |
Содержание лекций
Семестр
| Nсодерж. модуля
| № лекции
| Объем (час)
| Наименование тем,
краткое содержание материала.
|
|
|
|
| Понятие СЛАУ. Решение СЛАУ размера 2Х2. Введение понятия определителя 2-го порядка. Формулы Крамера.
|
|
| Решение СЛАУ размера3Х3. Введение понятия определителя 3-го порядка. Свойства определителей, методы их вычисления.
|
|
| Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
|
|
| Решение СЛАУ матричным методом и методом Гаусса. Понятие ранга матрицы. Общая схема исследования СЛАУ.
|
| 5-7
|
| Понятие вектора. Геометрические и аналитические действия над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Их физические и геометрические применения.
|
|
|
| Системы координат на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи (расстояние между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении, площадь треугольника).
|
|
| Уравнение линии на плоскости (поверхности в пространстве). Уравнение прямой с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой (плоскости); Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Уравнение прямой (плоскости) в отрезках на осях. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Расстояние от точки до прямой.
|
|
| Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Геометрический смысл линейных неравенств. Понятие линейной интерполяции в задачах судовождения.
|
10,
|
| Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Исследование формы. Практические приложения. Преобразование координат. Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
|
|
| Поверхности второго порядка (сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические, конические, вращения).
|
|
|
| Постоянные и переменные величины. Понятие функциональной зависимости. Основные элементарные функции. Свойства. Преобразования графиков.
|
|
| Числовые последовательности и их пределы. Предел функции.
|
|
| Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Первый замечательный предел. Эквивалентные бесконечно малые функции. Второй замечательный предел. Раскрытие различных видов неопределённостей.
|
|
| Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
|
|
|
| Производная и ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, произведения, частного.
|
18,19
|
| Производные элементарных функций. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных. Производные неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.
|
|
| Дифференциал функции и его свойства. Применение в приближённых вычислениях. Производные высших порядков.
|
|
| Теорема Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя и его использования при вычислении пределов функций.
|
22,23
|
| Возрастание и убывание функций. Нахождение экстремумов функций и асимптот. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба.
|
|
| Исследование поведения функций и построение графиков.
|
|
| 25,26
|
| Функции нескольких переменных. Частные производные Геометрический смысл полного дифференциала функций двух переменных. Оценка погрешности с помощью дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций двух переменных. Задачи оптимизации.
|
|
| Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.
|
| 28,29
|
| Понятие комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Действия над комплексными числами.
|
|
| Многочлен. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители в случае действительных и комплексных корней.
|
| 31,32
|
| Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Его свойства. Табличные интегралы. Метод непосредственного интегрирования.
|
|
| Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования по частям.
|
|
| Интегрирование рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов.
|
35,36
|
| Интегрирование тригонометрических и некоторых иррациональных функций.
|
|
|
| Понятие определенного интеграла и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
|
|
| Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.
|
|
| Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
|
| 40-42
|
| Геометрические приложения определенного интеграла.
Физические приложения определенного интеграла.
|
|
|
| Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
|
|
| Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
|
|
| Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.
|
|
| Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения 2-го порядка допускающие понижения порядка.
|
47,48
|
| Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения. Неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка
|
|
| Дифференциальные уравнения механических колебаний.
|
Темы практических занятий
Семестр
| N содерж.
модуля
| № занятия
| Объем (час)
| Наименование тем,
краткое содержание материала
|
|
|
|
| Определители второго и третьего порядка. Их свойства и методы вычисления.
|
|
| Матрицы, их сложение и перемножение. Обратная матрица и способы ее вычисления.
|
3,4
|
| Исследование и решение неоднородных и однородных систем алгебраических уравнений с помощью формул Крамера, методом Гаусса, матричным способом.
|
| 5-7
|
| Линейные операции над векторами в геометрической форме. Нахождение координат, длины, направления вектора. Вычисление скалярного, векторного, смешанного произведения векторов через их проекции на координатные оси и непосредственно. Задачи на геометрическое и физическое приложения произведений векторов.
|
|
|
| Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в заданном отношении. Составление уравнения линии как ГМТ. Построение прямой по различным её уравнениям.
|
|
| Решение задач на нахождение элементов треугольника с использованием уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, формулы угла между двумя прямыми. Задание треугольника системой линейных неравенств.
|
|
| Задачи на нахождение элементов кривых 2-го порядка и их построение по каноническим уравнениям. Исследование общего уравнения линии 2-го порядка.
|
|
| Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей системы координат. Построение кривой.
|
|
| Модульная контрольная работа.
|
|
|
| Нахождение области определения функции, её характерных свойств. Построение графиков путём элементарных преобразований.
|
|
| Предел последовательности, предел функции. Раскрытие неопределенностей , .
|
|
| Раскрытие других видов неопределенностей. Первый замечательный предел. Эквивалентные бесконечно малые величины.
|
|
| Второй замечательный предел. Задачи на классификацию точек разрыва.
|
| 17-
|
| Производная элементарных функций. Правила нахождения производных.
Нахождение производных сложных функций.
|
|
| Нахождение производных неявных и параметрически заданных функций. Производные высших порядков.
|
|
| Нахождение дифференциала функции. Использование правила Лопиталя при вычислении пределов функций.
|
|
| Нахождение экстремумов функций. Наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке. Задачи оптимизации.
|
|
| Задачи на определение критических точек 2-го рода. Выпуклость, вогнутость функции. Асимптоты.
|
|
| Исследование и построение графиков функций с помощью производных
|
|
| Модульная контрольная работа.
|
|
|
|
| Функции двух переменных. Частные производные. Геометрический смысл полного дифференциала функций двух переменных. Оценка погрешности с помощью дифференциала.
Производная по направлению. Градиент.
|
|
| Экстремумы функций двух переменных. Задачи оптимизации.
|
|
| Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.
|
|
|
| Комплексные числа. Действия с комплексными числами в различной форме (алгебраической, тригонометрической, показательной).
|
|
| Многочлен. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители в случае действительных и комплексных корней.
|
|
|
| Табличные неопределенные интегралы. Непосредственное интегрирование.
|
|
| Интегрирование методом замены переменной.
|
|
| Метод интегрирования по частям.
|
|
| Интегрирование простейших рациональных дробей 4-х типов. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие с использованием метода неопределенных коэффициентов.
|
|
| Интегрирование тригонометрических функций
|
|
| Интегрирование иррациональных функций.
|
|
| Модульная контрольная работа.
|
|
|
| Формула Ньютона-Лейбница Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
|
|
| Интегралы с бесконечными границами и от разрывных функций.
|
| 39-41
|
| Геометрические приложения определённого интеграла (вычисление площадей, объёмов тел, длины дуги кривой).
Физические приложения определенного интеграла.
|
| 42,43
|
| Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными и однородных. Задача Коши.
|
|
| Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли. Решение методом Бернулли и Лагранжа.
|
|
| Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка.
|
46,47
|
| Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
|
|
| Модульная контрольная работа.
|
Содержание и объем самостоятельной и индивидуальной работы студента
Самостоятельная работа включает часы, необходимые студенту на подготовку к плановым аудиторным контрольным и самостоятельным работам, а также на исследование некоторых вопросов теории.
Семестр
Содержательный модуль
| Часы
| Литература
| Содержание работы
|
1. Элементы линейной
алгебры.
|
| [1] гл. 5 §1-5
[2] гл. 1§5, гл. 4 §§1;5;6
[5] с. 124-138
[6] с. 86-190
[7] с. 194-207; [8] гл. 13
| Изучить лекционный материал. Освоить вычисление определителей третьего порядка, решение СЛАУ тремя методами.
|
2. Элементы векторной
алгебры.
|
| [1] гл. 1 §1; 3
[2] гл. 2
[5] с. 139-158
[7] гл. 7
[8] гл. 14
| Изучить лекционный материал. Овладеть линейными операциями над векторами. Понять формулы для вычисления скалярного, векторного, смешанного произведений векторов, их физический и геометрический смысл.
|
3. Элементы аналитической геометрии.
|
| [1] гл. 1 §2, гл. 2; 3
[2] гл. 1 §§1-4, гл. 3
[5] с. 8-123, 159-211
[7] гл. 1-6, 8-9
[8] гл. 1-4, 14
| Проработать лекционный материал по данной теме. Выучить основные формулы. Научиться решать задачи по нахождению элементов в треугольнике на плоскости, приводить к каноническому виду уравнения кривых 2-го порядка и строить их, производить прямую и обратную линейную интерполяцию.
|
4. Введение в анализ.
|
| [2] гл. 6
[4] гл. 1
[5] с. 212-357
[7] гл. 5-6
[9] гл. 1-2
| Выучить определения предела, свойства конечных пределов. Освоить методы раскрытия неопределенностей. Понять определение односторонних пределов и непрерывности функции в точке и освоить классификацию точек разрыва.
|
5. Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной.
|
| [2] гл. 7 §§1- 2
[4] гл. 2 §§1-13, гл. 3
[5] с. 358-497
[6] гл 1 с.186-253
[7] гл. 7-8
[9] гл. 3-5
| Выучить определение производной, ее свойства, таблицу основных производных. Научиться вычислять производную сложной функции. Понять физический и геометрический смысл производной и дифференциала. Научиться применять дифференциал в приближённых вычислениях. Изучить и освоить общую схему исследования функции и построения графика с помощью производных.
|
Итого
|
|
|
|
Семестр
Содержательный модуль
| Часы
| Литература
| Содержание работы
|
6. Функции нескольких переменных.
|
| [2] гл. 8 §§1-2; 4
[4] гл. 6
[5] с. 499-574
[8] гл. 15
[9] гл. 8
| Научиться находить эмпирическую функцию методом наименьших квадратов.
|
7. Комплексные числа. Многочлены.
|
| [1] гл. 5 §6
[6] с. 5-60
[9] гл. 7
| Знать, какие числа являются комплексными. Научиться выполнять действия с комплексными числами в различной форме.
|
8. Неопределенный интеграл.
|
| [2] гл. 9
[4] гл. 4
[5] с. 575-715
[7] гл. 9
[9] гл. 10
| Выучить определение первообразной и неопределенного интеграла, их свойства, таблицу основных интегралов. Научиться различать основные методы интегрирования.
|
9. Определенный интеграл.
|
| [2] гл. 10 §§1-2
[4] гл. 5§§1-2
[5] с. 716-769
[7] гл. 10 §§54-57
[9] гл. 11
| Выучить формулу Ньютона-Лейбница, формулу интегрирования по частям определенных интегралов. Знать алгоритм вычисления несобственных интегралов.
|
10. Приложения определенного интеграла.
|
| [2] гл. 10 §§3-10
[4] гл. 5 §§3-11
[5] с. 777-811
[7] гл. 10 §§58-59
[9] гл. 12
| Разобрать идею решения физических задач с помощью интегралов.
|
11. Дифференциальные уравнения.
|
| [3] гл. 4 §§1-3
[4] гл. 9 §§1-10
[5] с. 812-941
[8] гл. 16
[9] гл. 13
| Научиться определять тип уравнения и предлагать способ его решения. Пытаться давать механическую интерпретацию линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
|
Итого
|
|
|
|