Графики тригонометрических функций
Тема: «Методика изучения тригонометрических функций» В лекции использованы материалы из лекций проф. Ананченко К.О. §1 Содержание темы. Перечень знаний и умений по теме. Тригонометрия — один из наиболее важных разделов курса алгебры и начал анализа. Он включает изучениеследующих вопросов: - введение тригонометрических функций числового аргумента и их простейшие свойства; - тригонометрические тождества; - тригонометрические уравнения и неравенства.
Содержание темы по классам: Класс - Периодичность функции. Функции y=sin x, y=cos x, , их свойства и графики. - Простейшие тригонометрические уравнения sin x=а, cos x=а, . Тригонометрические уравнения. Тригонометрические функции – класс элементарных функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Они предоставляют удобный аппарат для решения разнообразных геометрических задач. Тригонометрические функции имеют многочисленные приложения в астрономии, геодезии, механике, электротехнике и других науках. В результате изучения темы “ Тригонометрические функции ” учащиеся должны: знать определения тригонометрических функций, определение периодической функции, формулировку и доказательство теоремы о периодичности тригонометрических функций, наименьший положительный период для функций синус, косинус, тангенс, котангенс; уметь исследовать тригонометрические функции на четность и нечётность; применять свойство периодичности тригонометрических функций при вычислении их значений и построении их графиков; уметь по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, экстремумы данных функций. § 2 Определение тригонометрических функций Пусть М-точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице; a- угол между осью абсцисс и радиусом ОМ, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 18). При этом если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Если (Хa ; Ya) – координаты точки М, то тригонометрические функции синус и косинус определяются формулами : sin a= Ya ; cos a= Хa
Другие тригонометрические функции определяются формулами :
Угол может измеряться как в градусах, так и в радианах и изменяться от - до + . Чаще используется радианное измерение, причём обозначение радиан опускается, и тогда тригонометрические функции считаются функциями числового аргумента. В методической литературе предлагаются различные подходы к определению тригонометрических функций. Функции синус и косинус рассматриваются: как отношение сторон в прямоугольном треугольнике для острых углов с последующим распространением на любые углы; как координаты точек единичной окружности или координаты конца подвижного единичного радиуса; как отношение координат конца подвижного радиуса некоторой окружности к длине этого радиуса; как отношение координат конца радиуса-вектора к его длине; как проекции единичного вектора на оси координат; как отношения проекций вектора на векторные оси к длине указанного вектора.
Графики тригонометрических функций В методической литературе для построения графиков тригонометрических функций рекомендуются различные подходы. Рассмотрим некоторые из них на примере функций y=sin x. 1. Сначала предлагается построить часть графика функции синус на отрезке [0:p] по точкам:
Затем воспользовавшись свойством нечётности функции синус, можно построить график функции на отрезке:[- p;0] и продолжить его периодичность на всю ось OX (рис.19)
2. Существует другой способ построения графика функции y=sin x. Строится единичная окружность и делится на 12 равных дуг, концы которых будут соответствовать значениям аргумента, указанным в таблице:
Дальнейшее построение графика y = sin x ясно из рассмотрения рис.
Так как наименьший положительный период синуса равен 2p, то график функции y=sin x в промежутке от -2p до 0 будет иметь такой же вид, как и в промежутке от 0 до 2p, то же верно для промежутка от 2p до 4p и т.д. Исходя из геометрических соображений можно построить график тригонометрической функции с любой степенью точности, что зависит от числа делений, на которые делится окружность с радиусом, равным единице. 3. Для построения графика синуса проводится её исследование с помощью производной на любом отрезке длины 2p, например, на отрезке [-p;p]. Находятся производная функции синус и критические точки функции, а затем заполняется таблица:
Пользуясь проведённым исследованием, строят график функции y=sin x на отрезке [-p;p], а затем на всей оси OX. Задание для самостоятельного изучения 1) Ознакомьтесь с действующим учебным пособием “АиНА” и установите, какой способ используется при построении графика функции y=sin x. 2) Подумайте, с помощью каких преобразований из графика функции y=sin x можно получить график функции y=-2sin(x- )+1. Для закрепления навыка построения графиков тригонометрических функций с помощью простейших преобразований графиков рекомендуется провести лабораторную работу на тему “Построение графиков тригонометрических функций”. Вариант 1. С использованием шаблона вычертите графики: y=sin x , y=sin x -1 , y=sin(x- ) , y=sin(x+ ). Вариант 2. С использованием шаблона вычертите графики функций : y=cos x , y=cos x+2, y=cos(x+ ) , y=cos(x- ).
§4 Свойства и график функции y = sin x 1. Область определения – множество всех действительных чисел. 2. Область значений – отрезок [-1; 1]. 3. Функция нечётная. 4. Функция периодическая, основной период равен 2 . 5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z 6. В точках (k Z) синус имеет максимумы, равные 1; в точках - минимумы, равные –1. График функции y = sin x изображён на рис. 21.
рис.21 §5 Свойства и график функции y = cos x. 1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. 2. Область значений – отрезок [-1; 1]. 3. Функция чётная. 4. Функция периодическая с основным периодом 2 . 5. Функция возрастает на промежутках [ ] и убывает на промежутках [ ], k Z 6. Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках x = , k Z; косинус имеет минимумы, равные –1, в точках x = , k Z. График функции y = cos x изображён на рис. 22.
§6 Свойства и график функции 1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме числе вида где k Î Z. 2. Область определения – вся числовая прямая. 3. Функция нечётная. 4. π – основной период функции. 5. Функция возрастает на промежутках (-π/2 + πk, π/2 + πk), где k Î Z. 6. Функция не имеет экстремумов. 7. График функции изображён на рисунке 23.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1310)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |