Зачем нужны доказательства?

Из книги Д. Пойа «Как решать задачу»

О Ньютоне есть такое предание: будучи молодым студентом, он начал изучение геометрии, как в то время было принято, с чтения Евклида. Прочитывая формулировки теорем, он видел, что последние справедливы, и не изучал доказательств. Его удивляло, что люди прилагают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Однако много лет спустя он изменил свое мнение и очень хвалил Евклида.

Эта история может быть достоверной или нет, однако, вопрос остается: зачем нам следует изучать или излагать доказательства? Что предпочтительней: никаких доказательств вообще или доказывать все, или ограничиваться некоторыми доказательствами? А если ограничиваться некоторыми доказательствами, то какими именно?

1. Полные доказательства.Для некоторых логиков существуют лишь полные доказательства. То, что предназначается быть доказательством, не может иметь никаких пробелов, никаких лазеек, никаких сомнений, иначе не доказательство. Возможно ли в повседневной жизни или в юриспруденции, или в физических науках привести примеры полных доказательств, соответствующих таким высоким требованиям? Едва ли. Таким образом, трудно понять, как нам могла прийти в голову мысль о существовании совершенно полных доказательств.

Мы можем сказать не без некоторого преувеличения, что эту мысль принес человечеству один человек, одна книга, Евклид и его «Начала». Во всяком случае, изучение основ планиметрии и поныне дает нам лучшую возможность осознать идею строгого доказательства.

Возьмем в качестве примера доказательство теоремы: Сумма углов треугольника равна двум прямым. Фигура 1 хорошо знакома большинству из нас и особых пояснений не требует.

Фиг. 1

Через вершину А проходит прямая, параллельная стороне ВС. Углы треугольника В и С равны соответствующим углам при точке А как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Три угла треугольника равны трем углам с общей вершиной А, образующим угол в 180⁰ или два прямых угла. Таким образом, теорема доказана. Если ученик прошел школьный курс математики, не постигнув по-настоящему несколько подобных доказательств, он вправе выразить самое крайнее недовольство по адресу своей школы и учителей. В самом деле, необходимо делать различие между более важным и менее важным. Если учащемуся не пришлось ознакомиться с тем или иным частным понятием геометрии, он не так уж много потерял. В дальнейшей жизни эти знания могут не пригодиться. Но если ему не удалось ознакомиться с геометрическими доказательствами, то он упустил лучшие и простейшие примеры точного доказательства, он упустил лучшую возможность ознакомиться вообще с понятием «строгое рассуждение». Без этого понятия у него не будет настоящей мерки, при помощи которой он сможет оценивать претендующие на истинность доказательства, преподносимые ему современной жизнью.

Словом, если школа намерена дать учащемуся понятие об интуитивной аргументации и логическом рассуждении, то она должна предоставить место геометрическим доказательствам¹.

¹ Это замечание Д. Пойа весьма характерно для постановки преподавания геометрии в американской средней школе с господствующим в ней сильным ущемлением дедуктивного аспекта этой дисциплины. Последние годы, правда, американские математики (и среди них автор настоящей книги) возбуждают вопрос о пересмотре указанной установки, видя в ней одну из главных причин низкого математического уровня ос­новной массы выпускников американской средней школы. (Примечание к русскому переводу. – Ред.).

2. Логическая система.Геометрия, как она представлена в «Началах» Евклида, не есть лишь собрание фактов, а представляет собой логическую систему. Аксиомы, определения и теоремы представлены там не в произвольном порядке, а расположены в безукоризненной последовательности. Каждая теорема расположена так, что для ее доказательства могут быть использованы предшествующие аксиомы, определения и теоремы. Мы можем сказать, что главное достижение Евклида заключается в умелом расположении теорем, а их логическая система — главное достоинство «Начал».

Евклидова геометрия — не просто одна из логических систем. Она является первым и величайшим примером такой системы, которой другие науки пытались и все еще пытаются подражать. Следует ли другим наукам, в особенности таким далеким от геометрии, как психология и юриспруденция, подражать строгой логике Евклида? Вопрос этот спорный, но обсуждать этот вопрос со знанием дела может лишь тот, кто знаком с системой Евклида.

Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы.

Словом, если школа хочет дать учащемуся понятие о логической системе, она должна предоставить место геометрическим доказательствам.

3. Мнемотехническая система.Автор не считает, что идеи интуитивной аргументации, строгого рассуждения и логической системы излишни для кого бы то ни было. Однако бывают случаи, когда изучение этих идей не считается совершенно необходимым ввиду недостатка времени или по каким-либо другим причинам, но даже и в этих случаях желательно изучать доказательства.

Доказательства обеспечивают бесспорность сведений, и тем самым укрепляя логическую систему, они помогают нам закрепить в своей памяти разнообразные элементы связной системы. Возьмите случай, разобранный выше (фиг. 1). Из чертежа ясно, что сумма углов треугольника равна 180°, чертеж связывает этот факт с другим фактом, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. А связанные факты интереснее и лучше запоминаются, чем изолированные. Таким образом, чертеж фиксирует эти две связанные геометрические теоремы в нашей памяти и, в конце концов, чертеж и теорема становятся неотъемлемой собственностью нашего сознания.

Теперь рассмотрим случай, когда приобретение общих понятий не считается необходимым, а желательно лишь накопление определенных сведений. Даже в этом случае сведения должны преподноситься в какой-то связи или системе, поскольку изолированно они усваиваются с трудом и легко забываются. В этом случае желательна любая связь, которая просто, естественно и прочно объединяет все сведения. Такая система не обязательно должна быть основана на логике; она должна лишь эффективно помогать памяти. Она должна представлять собой то, что называется мнемотехнической системой. Но даже с точки зрения мнемотехнической системы доказательства, в особенности простые, могут быть полезны. Например, учащийся должен заучить сведения о сумме углов треугольника и о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых. Может ли быть другой прием проще, естественнее или эффективнее, чем чертеж 1?

Словом, даже когда общим логическим понятиям не придают особого значения, доказательства могут быть полезны как мнемотехнический прием.

4. Система поваренной книги.Мы рассмотрели преимущества доказательств, но мы, конечно, не ратовали за то, чтобы все доказательства были даны «in extenso» (in extenso (лат.) — полностью. Примечание переводчика). Наоборот, есть такие случаи, когда это вряд ли возможно. Таким важным случаем является преподавание дифференциального и интегрального исчисления студентам инженерных факультетов.

Чтобы преподнести это исчисление в соответствии с современным уровнем математической строгости, необходимо изложить довольно сложные доказательства, не лишенные известных тонкостей. Но инженерам исчисление нужно для его практического применения. У них нет ни времени, ни подготовки, ни интереса к тому, чтобы преодолеть длинные доказательства и оценить по достоинству все тонкости. В результате этого появляется сильное искушение опускать вообще все доказательства. Однако, поступая таким образом, мы сводим исчисление до уровня поваренной книги.

Поваренная книга подробно описывает составные части блюда и как его стряпать, но не обосновывает свои предписания и не приводит доводов в пользу своих рецептов. Чтобы узнать, каков пудинг, надо его отведать. Поваренная книга отлично служит своим целям. И действительно, ей не нужно никаких логических или мнемотехнических систем, поскольку рецепты записаны или напечатаны, а не держатся в памяти.

Едва ли автор учебника дифференциального и интегрального исчисления или преподаватель колледжа смогут оправдать свое назначение, если они будут близко следовать системе поваренной книги. Если обучать приемам работы без доказательств, то такие немотивированные приемы поняты не будут. Правила без их обоснований лишаются взаимной связи и быстро забываются. Математику нельзя «попробовать» в том смысле, в каком пробуют пудинг. Если всякие рассуждения исключить, курс исчисления может легко превратиться в бессвязную опись неудобоваримых справок.

5. Неполные доказательства.Лучший способ разрешения дилеммы между слишком тяжеловесными полными доказательствами и уровнем поваренной книги заключается, вероятно, в том, чтобы разумно пользоваться неполными доказательствами.

Для строгого логика неполное доказательство вообще не доказательство. И конечно, следует делать четкое разграничение между неполными и полными доказательствами. Путать одно с другим плохо, а выдавать одно за другое еще хуже. Неприятно, когда автор учебника нечетко преподносит неполное доказательство, с явными колебаниями между стыдом и претензиями на полноту доказательства. Но неполные доказательства могут быть полезны, когда они к месту и когда ими пользуются с чувством меры. Их цель не заменять полные доказательства, чего они никогда не смогут сделать, а придать изложению интерес и связать отдельные части всего рассуждения в единое целое.

Пример 1. Алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Эту теорему, называемую основной теоремой алгебры (Гаусса), часто приходится давать учащимся, которые совершенно не подготовлены к восприятию ее доказательства. Однако им известно, что уравнение первой степени имеет один корень, а уравнение второй степени — два корня. Кроме того, у этой трудной теоремы есть часть, которую легко доказать; никакое уравнение n-й степени не имеет больше n различных корней. Составляют ли приведенные факты полное доказательство основной теоремы алгебры? Никоим образом. Этих фактов, однако, достаточно, чтобы придать теореме некоторый интерес и правдоподобие и закрепить ее в памяти учащихся, а это самое главное.

Пример 2. Сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего. Теорема сводится, очевидно, к утверждению, что в сферическом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей.

Заметив это, мы естественно вспоминаем об аналогии сферического треугольника с прямолинейным треугольником. Составляют ли эти замечания доказательство? Никоим образом. Но они помогают нам лучше понять и запомнить предложенную теорему.

Наш первый пример представляет исторический интерес. Примерно в течение 250 лет математики принимали основную теорему на веру, без полного доказательства. Доводов у них было по существу не больше, чем те, которые мы привели выше. Наш второй пример указывает на а н а л о г и ю как на важный источник догадок. В математике, как и в естественных и физических науках, открытие часто берет свое начало в наблюдении, аналогии и индукции. Эти средства, использованные с должным чувством меры при построении правдоподобного эвристического доказательства, особенно привлекательны для физиков и инженеров (см. также «Индукцию и математическую индукцию», пп. 1, 2, 3).

Наше изучение процесса решения до известной степени объясняет роль неполных доказательств и интерес к ним. Опыт в решении задач показывает, что первая идея какого-нибудь доказательства очень часто неполная. Основная мысль, главная связь, зерно доказательства возможно и заключены в этой первой идее, но детали должны быть даны впоследствии, и они часто доставляют нам много хлопот. Некоторые искусные авторы умеют преподнести лишь зерно доказательства, главную идею в ее наиболее простой форме и указать на характер недостающих деталей. Такое доказательство, пусть неполное, может быть намного поучительней, чем полное доказательство со всеми подробностями.

Одним словом, неполные доказательства могут быть использованы как мнемотехнический прием, но, конечно, не как заменители полных доказательств, когда наша цель — дать достаточно связное изложение и когда не требуется строгая логическая последовательность изложения.

Очень опасно отстаивать неполные доказательства. Несколькими правилами можно свести к минимуму возможные злоупотребления этими доказательствами. Первое правило: если доказательство неполное, то это надо каким-то образом отметить. Второе: автор или учитель имеет право давать неполное доказательство теоремы лишь в том случае, если сам хорошо знаком с полным доказательством.

И надо признать, что не так уж легко преподнести неполное доказательство с должным чувством меры.