Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников
Суть метода прямоугольников. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл . Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками . Внутри каждого отрезка выберем точку . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла . Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников). Метод средних прямоугольников. Формула метода средних прямоугольников. Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на РАВНЫЕ части длины h точками (то есть ) и в качестве точек выбрать СЕРЕДИНЫ элементарных отрезков (то есть ), то приближенное равенство можно записать в виде . Это и есть формула метода прямоугольников. Ее еще называют формулой средних прямоугольников из-за способа выбора точек . называют шагом разбиения отрезка [a;b]. Приведем графическую иллюстрацию метода средних прямоугольников. Из чертежа видно, что подынтегральная функция y=f(x) приближается кусочной ступенчатой функцией на отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения для неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры. Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников. Перейдем к оценке абсолютной погрешности метода прямоугольников. Сначала оценим погрешность на элементарном интервале. Погрешность метода прямоугольников в целом будет равна сумме абсолютных погрешностей на каждом элементарном интервале. На каждом отрезке имеем приближенное равенство . Абсолютную погрешность метода прямоугольников на i-ом отрезке вычисляем как разность между точным и приближенным значением определенного интеграла: . Так как есть некоторое число и , то выражение в силу четвертого свойства определенного интеграла можно записать как . Тогда абсолютная погрешность формулы прямоугольников на i-ом элементарном отрезке будет иметь следующий вид Если считать, что функция y = f(x) имеет в точке и некоторой ее окрестности производные до второго порядка включительно, то функцию y = f(x)можно разложить в ряд Тейлора по степеням с остаточным членом в форме Лагранжа: По свойствам определенного интеграла равенства можно интегрировать почленно: Таким образом, и . Абсолютная погрешность формулы прямоугольников на отрезке [a; b] равна сумме погрешностей на каждом элементарном интервале, поэтому Полученное неравенство представляет собой оценку абсолютной погрешности метода прямоугольников. К началу страницы
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1991)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |