Свойства основных конструкций структурного программирования

Анекдот

Лекция 9.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ПРОГРАММ

Понятие обоснования программ. Формализация свойств программ, триады Хоора. Правила для установления свойств оператора присваивания, условного и составного операторов. Правила для установления свойств оператора цикла, понятие инварианта цикла. Завершимость выполнения программы.

Обоснования программ. Формализация свойств программ.

Для повышения надежности программных средств весьма полезно снабжать программы дополнительной информацией, с использованием которой можно существенно повысить уровень контроля ПС. Такую информацию можно задавать в форме неформализованных или формализованных утверждений, привязываемых к различным фрагментам программ. Будем называть такие утверждения обоснованиями программы. Неформализованные обоснования программ могут, например, объяснять мотивы принятия тех или иных решений, что может существенно облегчить поиск и исправление ошибок, а также изучение программ при их сопровождении. Формализованные же обоснования позволяют доказывать некоторые свойства программ как вручную, так и контролировать (устанавливать) их автоматически.

Одной из используемых в настоящее время концепций формальных обоснований программ является использование так называемых триад Хоора. Пусть S - некоторый обобщенный оператор над информационной средой IS, а P и Q - некоторые предикаты (утверждения) над этой средой. Тогда запись {P}S{Q} и называют триадой Хоора, в которой предикат P называют предусловием, а предикат Q - постусловием относительно оператора S. Говорят, что оператор (в частности, программа) S обладает свойством {P}S{Q}, если всякий раз, когда перед выполнением оператора S истинен предикат P, после выполнения этого оператора S будет истинен предикат Q.

Простые примеры свойств программ:

(9.1) {n=0} n:= n+1{n=1},

(9.2) {n<m} n:= n + k {n<m+k},

(9.3) {n<m+k} n:=3*n {n<3*(m + k)},

(9.4) {n>0} p:=1; m:=1;

ПОКА m <> n ДЕЛАТЬ

m:=m+1; p:= p*m

ВСЕ ПОКА

{p= n!}.

Для доказательства свойства программы S используются свойства простых операторов языка программирования (мы здесь ограничимся пустым оператором и оператором присваивания) и свойствами управляющих конструкций (композиций), с помощью которых строится программа из простых операторов (мы здесь ограничимся тремя основными композициями структурного программирования, см. Лекцию 8). Эти свойства называют обычно правилами верификации программ.

 

Свойства простых операторов.

Для пустого оператора справедлива

Теорема 9.1. Пусть P - предикат над информационной средой. Тогда имеет место свойство {P}{P}.

Доказательство этой теоремы очевидно: пустой оператор не изменяет состояние информационной среды (в соответствии со своей семантикой), поэтому его предусловие сохраняет истинность и после его выполнения.

Для оператора присваивания справедлива

Теорема 9.2. Пусть информационная среда IS состоит из переменной X и остальной части информационной среды RIS:

IS = (X, RIS).

Тогда имеет место свойство

{Q(F(X, RIS), RIS)} X:= F(X, RIS) {Q(X, RIS)} ,

где F(X, RIS) - некоторая однозначная функция, Q - предикат.

Доказательство. Пусть (X0, RIS0) - некоторое произвольное состояние информационной среды IS, и пусть перед выполнением оператора присваивания предикат Q(F(X0, RIS0), RIS0) является истинным. Тогда после выполнения оператора присваивания будет истинен предикат Q(X, RIS), так как X получит значение F(X0, RIS0), а состояние RIS не изменяется данным оператором присваивания, и, следовательно, после выполнения этого оператора присваивания в этом случае

Q(X, RIS)=Q(F(X0, RIS0), RIS0).

В силу произвольности выбора состояния информационной среды теорема доказана.

Примером свойства оператора присваивания может служить пример 9.1.

 

Свойства основных конструкций структурного программирования.

Рассмотрим теперь свойства основных конструкций структурного программирования: следования, разветвления и повторения.

Свойство следования выражает следующая

Теорема 9.3. Пусть P, Q и R - предикаты над информационной средой, а S1 и S2 - обобщенные операторы, обладающие соответственно свойствами

{P}S{Q} и {Q}S2{R}.

Тогда для составного оператора

S1; S2

имеет место свойство

{P} S1; S2 {R} .

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора S1 истинен предикат P. Тогда в силу свойства оператора S1 после его выполнения будет истинен предикат Q. Так как по семантике составного оператора после выполнения оператора S1 будет выполняться оператор S2, то предикат Q будет истинен и перед выполнением оператора S2. Следовательно, после выполнения оператора S2 в силу его свойства будет истинен предикат R, а так как оператор S2 завершает выполнение составного оператора (в соответствии с его семантикой), то предикат R будет истинен и после выполнения данного составного оператора, что и требовалось доказать.

Например, если имеют место свойства (9.2) и (9.3), то имеет

место и свойство

{n<m} n:= n + k; n:= 3*n {n<3*(m + k)}.

Свойство разветвления выражает следующая

Теорема 9.4. Пусть P, Q и R - предикаты над информационной средой, а S1 и S2 - обобщенные операторы, обладающие соответственно свойствами

{P,Q} S1{R} и {ØP,Q} S2 {R}.

Тогда для условного оператора

ЕСЛИ P ТО S1ИНАЧЕ S2 ВСЕ ЕСЛИ

имеет место свойство

{Q} ЕСЛИ P ТО S1ИНАЧЕ S2 ВСЕ ЕСЛИ {R} .

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением условного оператора истинен предикат Q. Если при этом будет истинен также и предикат P, то выполнение условного оператора в соответствии с его семантикой сводится к выполнению оператора S1. В силу же свойства оператора S1 после его выполнения (а в этом случае - и после выполнения условного оператора) будет истинен предикат R. Если же перед выполнением условного оператора предикат P будет ложен (а Q, по-прежнему, истинен), то выполнение условного оператора в соответствии с его семантикой сводится к выполнению оператора S2. В силу же свойства оператора S2 после его выполнения (а в этом случае - и после выполнения условного оператора) будет истинен предикат R. Тем самым теорема полностью доказана.

Прежде чем переходить к свойству конструкции повторения следует отметить полезную для дальнейшего

Теорему 9.5. Пусть P, Q, P1 и Q1 - предикаты над информационной средой, для которых справедливы импликации

P1Þ P и QÞ Q1,

и пусть для оператора S имеет место свойство {P}S{Q}.Тогда имеет место свойство {P1}S{Q1} .

Эту теорему называют еще теоремой об ослаблении свойств.

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора S истинен предикат P1. Тогда будет истинен и предикат P (в силу импликации P1Þ P). Следовательно, в силу свойства оператора S после его выполнения будет истинен предикат Q, а значит и предикат Q1 (в силу импликации QÞ Q1). Тем самым теорема доказана.

Свойство повторения выражает следующая

Теорема 9.6. Пусть I, P, Q и R - предикаты над информационной средой, для которых справедливы импликации

PÞ I и (I,ØQ) Þ R ,

и пусть S - обобщенный оператор, обладающий свойством {I}S{I}.

Тогда для оператора цикла

ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА

имеет место свойство

{P} ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА {R} .

Предикат I называют инвариантом оператора цикла.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно доказать свойство

{I} ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА {I,ØQ}

(по теореме 9.5 на основании имеющихся в условиях данной теоремы импликаций). Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора цикла истинен предикат I. Если при этом предикат Q будет ложен, то оператор цикла будет эквивалентен пустому оператору (в соответствии с его семантикой) и в силу теоремы 9.1 после выполнения оператора цикла будет справедливо утверждение (I,ØQ). Если же перед выполнением оператора цикла предикат Q будет истинен, то оператор цикла в соответствии со своей семантикой может быть представлен в виде составного оператора

S; ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА

В силу свойства оператора S после его выполнения будет истинен предикат I, и возникает исходная ситуация для доказательства свойства оператора цикла: предикат I истинен перед выполнением оператора цикла, но уже для другого (измененного) состояния информационной среды (для которого предикат Q может быть либо истинен либо ложен). Если выполнение оператора цикла завершается, то, применяя метод математической индукции, мы за конечное число шагов придем к ситуации, когда перед его выполнением будет справедливо утверждение (I,ØQ). А в этом случае, как было доказано выше, это утверждение будет справедливо и после выполнения оператора цикла. Теорема доказана.

Например, для оператора цикла из примера (9.4) имеет место свойство

{n>0, p=1, m=1} ПОКА m <> n ДЕЛАТЬ

m:=m+1; p:= p*m

ВСЕ ПОКА {p= n!}.

Это следует из теоремы 9.6, так как инвариантом этого оператора цикла является предикат p= m! и справедливы импликации

(n>0, p=1, m=1) Þ p= m! и (p= m!, m= n) Þ p= n!