Классификация входных потоков
По характеру входной поток требований разделяется на детерминированный поток требований и стохастический (рис.2). Детерминированный входной поток может быть двух видов. В первом случае требования поступают через равные промежутки времени. Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования поступают по известной программе - расписанию, когда моменты поступления новых требований известны заранее.
Рис.2. Классификация входного потока
Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастический процесс. Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастическими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований. Произвольный поток требований характеризуется тем, что на него не накладывается никаких ограничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а также на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями. Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:
Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерно:
Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно. Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом: (1.1) где λ - интенсивность поступления заявок в систему. Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими). Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга. (1.2) СМО с отказами Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок Пвх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inПвх=λ. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо λ записывают λ (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Тоб распределено по показательному закону и записывается в виде: , где λ - интенсивность отказов. Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S0 - канал свободен и простаивает, S1 - канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок Пвх, а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживании Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в S1 и обратно равны соответственно λ и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.
Рис.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.
Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s0 - все n каналов свободны; s1 - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; si - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; sn - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.
Рис.4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами. При этом имеет место а Пользуясь общим правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис.2 и рис.3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений: например, для одноканальной СМО (рис.2) имеем: для многоканальной СМО (рис.3) соответственно имеем: Решив первую систему уравнений, можно найти значения p0 (t) и p1 (t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях: 1) λ >µ; 2) λ=µ; 3) λ<µ СМО с ожиданием Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна µ (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.
Рис.6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию: S0 - канал свободен; S1 - канал занят (очереди нет); S2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди); Sn - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди); SN - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений: (1.11) где ρ=λ/µ; n - номер состояния. Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид: (1.12) (1.13) Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки: (1.14) относительная пропускная способность системы: (1.15) абсолютная пропускная способность: (1.16) среднее число находящихся в системе заявок: (1.17) среднее время пребывания заявки в системе: (1.18) средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди: (1.19) среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди): . (1.20) [2, 89 - 92]. Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний - интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности. Система может находиться в одном состоянии S0, S1, S2,…,Sk,…,Sn,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны; …, Sk - занято k каналов, остальные свободны; …, Sn - заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка; …, Sn+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, …. Граф состояний показан на рисунке 7.
Рис.7. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием Обратим внимание, что по мере увеличения в СМО от 0 до n увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО, большем, чем n, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nµ. Формулы для предельных состояний СМО с ожиданием выглядят следующим образом: (1.27) (1.28) (1.29) Вероятность того, что заявка окажется в очереди равна: (1.30) Для n-канальной СМО с ожиданием, используя прежние формулы, можно найти: среднее число занятых каналов: (1.31) среднее число заявок в очереди: (1.32) среднее число заявок в системе: (1.31) [4, 349 - 360].
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (816)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |