КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр.

I уровень

1.1. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, высота которого равна 8 см, а радиус основания – 3 см.

1.2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 64 см². Найдите площадь основания цилиндра.

1.3. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь его боковой поверхности.

1.4. Высота цилиндра равна 12 см, диагональ осевого сечения – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1.5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см и составляет угол 45º с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1.6. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг меньшей из сторон. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ прямоугольника равна 6 см и наклонена к большей стороне под углом 30º.

1.7. Определите давление кирпичной цилиндрической колонны на фундамент, если высота колонны равна 2 м, диаметр основания равен 0,75 м. Вес одного кубического метра кирпича необходимо принять равным 1,8 т.

1.8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 18 см. Найдите объем цилиндра.

1.9. Как изменится объем цилиндра, если радиус основания увеличить в три раза, а высоту уменьшить в четыре раза?

1.10. Два различных цилиндра имеют равные площади боковых поверхностей. Найдите отношение радиусов оснований, если их высоты относятся как 3 : 1.

II уровень

2.1. Цилиндр, радиус основания которого равен 13 см, а высота – 10 см, пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Определите, на каком расстоянии от оси цилиндра проведено сечение.

2.2. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна 71 дм². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

2.3. Радиус основания цилиндра в три раза меньше его высоты. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

2.4. Цилиндрическая дымовая труба диаметром 60 см имеет высоту 20 м. Определите, сколько квадратных метров листового железа потребуется на ее изготовление, если на заклепки уходит 10 % всего необходимого количества железа.

2.5. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат. Найдите объем цилиндра, если радиус его основания на 3 см меньше высоты.

2.6. Площадь основания цилиндра равновелика площади развертки его боковой поверхности. Найдите тангенс угла наклона диагонали осевого сечения к плоскости основания цилиндра.

2.7. Прямоугольник со сторонами m и b является разверткой боковых поверхностей двух различных цилиндров. Найдите отношение объемов этих цилиндров.

2.8. Кусок льда, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, размером 0,6 м ´ 0,4 м ´ 0,5 м, помещен в цилиндрический сосуд диаметра 0,9 м. Определите, какова будет высота слоя воды после того, как лед растает. Удельный вес льда необходимо считать равным 0,92 г/см³.

III уровень

3.1. Точка окружности верхнего основания цилиндра соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен a. Найдите угол между осью цилиндра и отрезком, соединяющим данные точки, если высота цилиндра равна его диаметру.

3.2. К цилиндру проведена касательная прямая под углом a к плоскости основания. Определите расстояние от центра нижнего основания до прямой, если расстояние от центра до точки касания равно d, а радиус основания равен R.

3.3. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину а. Через ось цилиндра проведена вторая цилиндрическая поверхность, которая делит окружность основания на две дуги, длины которых относятся как 2 : 1. Найдите объем большей части цилиндра, на которые цилиндрическая поверхность делит цилиндр.

3.4. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

 

Конус. Усеченный конус

I уровень

1.1. Площадь основания конуса равна 16p см², образующая – 5 см. Найдите высоту конуса.

1.2. Высота усеченного конуса 8 см, радиус нижнего основания на 6 см больше радиуса верхнего основания. Найдите длину образующей усеченного конуса.

1.3. Крыша флигеля имеет коническую форму. Диаметр башни равен 12 м, высота крыши – 8 м. Найдите площадь поверхности крыши.

1.4. Определите, как изменится площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания уменьшить в два раза, а образующую увеличить в три раза.

1.5. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 30°. Определите, какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 25 120 м³. (Число p принять равным 3,14).

1.6. Найдите объем конуса, высота которого 3 см, а осевое сечение – равносторонний треугольник.

1.7. В усеченном конусе через середину высоты, длина которой 5 см, проведено сечение, параллельное основаниям конуса. Найдите его площадь, если площадь осевого сечения усеченного конуса равна 30 см².

1.8. Высота усеченного конуса равна 6 см, радиусы оснований – 10 см и 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1.9. Определите, сколько квадратных дециметров материала потребуется на изготовление ведра, если его размеры таковы: диаметр дна 20 см, высота 24 см, диаметр верхней части в два раза больше диаметра дна.

1.10. В усеченном конусе проведено осевое сечение, средняя линия которого равна 11 см. Высота усеченного конуса равна 8 см, а радиус одного из оснований больше другого на 3 см. Найдите объем усеченного конуса.

II уровень

2.1. Найдите высоту конуса, если площадь осевого сечения равна 13 см², а площадь основания – 14 см².

2.2. В конусе, радиус основания которого 5 см, проведено сечение, параллельное основанию на расстоянии 4 см от него. Площадь сечения равна 4p см². Найдите образующие конуса и усеченного конуса.

2.3. Угол развертки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса равна 15 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2.4. Образующая конуса равна 25 см, а середина его высоты отстоит от образующей на 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2.5. Площадь основания в два раза меньше площади боковой поверхности конуса. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

2.6. Для изготовления указки конической формы был взят брусок квадратного сечения размером 20 мм ´ 20 мм и длиной 500 мм. У полученной указки диаметр основания 18 мм и длина 500 мм. Найдите, какой процент материала пошел в отходы.

2.7. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если высота равна 12 см, образующая – 13 см, а диагональ осевого сечения – 20 см.

2.8. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 96p см и 66p см, а его высота – 20 см. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.

2.9. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его образующая равна 17 см, а площадь сечения, проходящего через середину высоты параллельно основаниям, равна 196p см².

2.10. Объем усеченного конуса равен 2580p дм³, его высота равна 15 дм и составляет высоты полного конуса. Найдите радиусы оснований усеченного конуса.

III уровень

3.1. Радиус основания конуса равен R, образующая наклонена к плоскости основания под углом a. В конусе через вершину под углом j к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3.2.Площади оснований усеченного конуса равны 81p см² и 225p см², образующая относится к высоте как 5 : 4. Найдите площадь осевого сечения.

3.3.Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см². Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.

3.4. Дана трапеция ABCD, у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60°, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.

3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образующая – b. Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.

3.8. Треугольник АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А перпендикулярно АС. Найдите объем полученного тела вращения.

3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10. Образующая усеченного конуса, равная l, наклонена к плоскости основания под углом a. Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

 

Шар.

.I уровень

1.1. В шаре на расстоянии 9 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 144p см². Найдите радиус шара.

1.2. Два равных шара радиусом R = 17 см, взаимно пересекаясь, образуют двояковыпуклую линзу. Найдите ее диаметр, если расстояние между центрами шаров равно R.

1.3. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус его основания равен 15 см, а радиус шара – 25 см.

1.4. Шар, радиус которого 15 см, пересечен плоскостью на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сферической части шарового сегмента.

1.5. Найдите площадь сферы, диаметр которой равен диагонали куба с ребром, равным 2 см.

1.6. Определите, во сколько раз объем Земли больше объема Луны. (Диаметр Земли следует принять за 13 тыс. км, диаметр Луны – 3,5 тыс. км.)

1.7. Объем стенок полого шара равен 876p см³, а толщина стенок – 3 см. Найдите радиусы наружной и внутренней поверхностей шара.

1.8. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 10 см, а радиус основания соответствующего шарового сегмента – 6 см.

1.9. Объем одного шара в 8 раз больше объема другого шара. Определите, во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго.

II уровень

2.1. Стороны треугольника, равные 5 см, 5 см и 6 см, касаются шара, радиус которого 2,5 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2.2. На поверхности шара даны три точки. Расстояния между ними равны по 7 см. Радиус шара равен 7 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через данные три точки.

2.3. Радиусы оснований шарового слоя равны 63 см и 39 см, его высота – 36 см. Найдите радиус шара.

2.4. Дан шар радиуса 12 см. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая поверхность касается шара, вторая – под углом 60° к радиусу, проведенному в точку касания. Найдите площадь сечения.

2.5. Определите, какую площадь имеет часть поверхности шара, которая видна наблюдателю, находящемуся на расстоянии 10 м от него, если радиус воздушного шара равен 15 м.

2.6. Шар пересечен двумя плоскостями, проходящими через одну точку поверхности шара и образующими угол 60°. Радиус шара равен 4 см. Найдите площади поверхностей отсекаемых сегментов, если окружности их оснований имеют равные радиусы.

 

2.7. Шар касается граней двугранного угла в 120°. Расстояние от центра шара до ребра угла равно 10 см. Найдите площадь поверхности шара.

2.8. Из шара вырезали шаровой слой, толщина которого равна 9 см, площади оснований – 400p см² и 49p см². Найдите объемы оставшихся шаровых сегментов.

2.9. Диаметр шара разделен на четыре равные части и через точки деления проведены секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объемы полученных частей шара, если его радиус равен R.

2.10. В шаре радиуса R просверлено цилиндрическое отверстие. Ось цилиндра проходит через центр шара, диаметр отверстия равен радиусу шара. Найдите объем оставшейся части шара.

III уровень

3.1. Плоскости двух сечений шара взаимно перпендикулярны. Одна из этих плоскостей проходит через центр шара, другая – удалена от него на 12. Общая хорда сечений равна 18. Найдите сумму площадей этих сечений.

3.2. Радиус шара равен 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найдите радиус такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от точки А на 20 м.

3.3. Из точки, взятой на поверхности шара, проведены три равные хорды, угол между каждой парой которых равен a. Найдите длину хорды, если радиус шара равен R.

3.4. Два шара внутренне касаются в точке А, АВ – диаметр большего из шаров, ВС – касательная к меньшему из них. Найдите радиусы шаров, если ВС = 20 см, а разность площадей поверхностей шаров равна 700p см².

3.5. Вычислите объем шара, радиус которого равняется ребру октаэдра, имеющего поверхность площадью

3.6. Круговой сектор с углом 60° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела вращения.

 

КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.