Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,
ТЕМА 7. Интегральное исчисление функции одной переменной. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Определение и свойства неопределенного интеграла. 2. Таблицу основных интегралов. 3. Основные методы интегрирования. 4. Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций. 5. Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла. 6. Несобственные интегралы и их свойства. 7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Таблица основных интегралов
Образец решения варианта
Задание 1: Вычислить интеграл:
Решение: а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:
Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.
б) {для нахождения интеграла применим формулу (2)}
в) {для нахождения интеграла применим формулу (12)}
г) {для нахождения интеграла применим формулу (4)}
д) {для нахождения интеграла применим формулу (2)}
е) {для нахождения интеграла применим формулу (5)}
ж) {для нахождения интеграла применим формулу (8)}
з) {для нахождения интеграла применим формулу (10)}
и) {для нахождения интеграла применим формулу (9)}
к) {для нахождения интеграла применим формулу (3)}
л) {для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям, используя формулу (13):
м) {для нахождения интеграла применим формулу (6)} н) {второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)} в итоге получаем
о) . Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби: Перейдем к равенству числителей: . Отсюда следует, что Тогда Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим: {для нахождения интегралов применим формулу (3)}
п) . Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель: Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби: Возвращаясь к исходному интегралы, получим: {для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}
р) . Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку: . Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: Перейдем к равенству числителей: . Отсюда следует, что Тогда . Интегрируя почленно полученное равенство, получим:: {для нахождения интегралов применим формулу (3)}
с) . Произведем замену: Получим: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену: {для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}
т) . Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:
у) {для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)} ;
ф) {для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Решение: а) Несобственный интеграл I рода. {для нахождения интеграла применим формулу (2)} - интеграл расходится.
б) Несобственный интеграл II рода. является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому: {для нахождения интеграла применим формулу (8)} - интеграл сходится.
Задание 3:Вычислить: а) площадь фигуры, ограниченной линиями: и ; б) длину дуги кривой: , в) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .
Решение: а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур. § Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой определяется формулой (14);
§ Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями , определяется формулой (15);
§ Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой и лучами , , определяется формулой: (16).
В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).
Найдем координаты точек пересечения линий: ; ; . ;
б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. § Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (17);
§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (18);
§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (19).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).
;
в) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: (20).
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: (21).
В условиях нашей задачи , , .
.
Контрольная работа №7. Вариант 17.
Задание 1: Вычислить интегралы
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной графиками функций: . б) длину дуги кривой: . в) объем тела, полученного вращением вокруг оси области, ограниченной графиками функций: .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (373)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |