Решение типовых примеров

При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

 

А) [ƒ(x)±φ(x)]'=ƒ'(x)±φ'(x);

Б) [ƒ(x)·φ(x)]'=ƒ'(x)φ(x)+ƒ(x)φ'(x) ;

В) = ;

Г) Если задана сложная функция y=f(u), где u= φ(x), то есть y=f(φ(x)); если каждая из функций y=f(u) и u= φ(x) дифференцируема по своему аргументу, то

= ,

Пример 1:y= ,

u=2x -3 +1;

=6u =6( ) =

 

= 6

Пример 2:y= ;

= =

 

= .

 

Пример3: y=3 sin5x;

= .

1) y=ln arcsin 6x;

= .

 

Задание 4: Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции D (y);

2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.

7) найти наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке;

 

1. y=2 , [-1; 3];

2. y= , [-1; 2];

3. y= , [2; 4];

4. y= , [-1; 2];

5. y= , [0; 4];

6. y=2 , [-2; 3];

7. y=2 , [-3; 0];

8. y=2 , [-3; 1];

9. y=2 , [1; 4];

10. y=2 , [-1; 4];

 

 

Задание 5: Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной):

 

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20. .

 

 

Решение типовых примеров.

 

Найти неопределенный интеграл:

Пример 1.

Решение. Применим подстановку t=lnx. Тогда dt= и .

Пример 2. .

Решение. Применим подстановку t=2x +3. Тогда dt=6x dx , откуда .

 

2. Таблица основных интегралов.Из определения неопределенного интеграла следует, что если F’(x)=f(x), то ò ƒ(x)dx=F(x)+C. Исходя из этого и используя формулы дифференцирования, можно составить следующую таблицу неопределенных интегралов.

1. (a¹-1); при a=0 имеем òdx=x+C

2. ò êx ê+C

3. òsin xdx = - cos x +C

4. òcos xdx = sin x +C

5.

6. =-ctgx+C

7. arcsinx+C

8. arctgx+C

9.

10.

11. ÷cos xç+C

12. ÷sin xç+C

13. =ln çcos ecx-ctgxç+C=ln½tg ½+C

14. =ln çsec x + tg x ç+C=ln ½tg( )½+C

15. +C, a¹0

16. ½ ½+C, a¹0

17. = ½ ½+C, a¹0

18. , çx ç< a, a¹0

19. =lnçx+ ç+C

20. çx+ ç+C

21. çx+ ç+C.

 

Задание 6:Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

 

1. x-y+2=0, x=-1 и x=2

2. 2x-3y+6=0, y=0 и x=3

3. x-y+3=0, x+y-1=0 и y=0

4. x-2y+4=0, x+2y-8=0, y=0, x=-1 и x=6

5. y=x , y=0, x=0 и x=3

6. y=x +1, y=0, x=-1 и x=3

7. y=0,5x +2, y=0, x=1 и x=3

8. y=3x , y=0, x=-3 и x=2

9. y= +3, y=0, x=0 и x=3

10. y=-x -2x+8, y=0

 

Задание 7.

1)Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка

 

1. (2-y)dx=xdy

2. (1-y)vdy=(1-v)ydv

3. (1+y)dx=(1-x)dy

4. (1+y )xdx-(1+x )y dy=0

5. (xy +x)dx+(y-x y)dy=0

6. (1+2y)xdx+(1+x )dy=0

7. xy(1+x ) =1+y

8. ( )dy+ydx=0

9. (1+y )dx-xydy=0

10. (2x+1)dy+y dx=0

 

2) Найтиобщее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

1. -7 +10y=0;

2. +2 +10y=0;

3. -6 +9у=0;

4. +8 +7y=0;

5. +9y=0;

6. -7 +12y=0;

7. +9 =0;

8. -3 +2y=0;

9. -5 +6y=0;

10. -2 +5y=0;

Основные понятия

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее первую производную, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если, кроме того в уравнение входит вторая производная от искомой функции, то оно называется дифференциальным

уравнением второго порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде f (x,y,y’) = 0, где y = y (x) – искомая функция, y’= y’(x) – ее производная по x, а F – заданная функция переменных x,y,y’. Если уравнение F(x,y,y’) = 0 можно разрешить относительно производной, то оно примет вид y’= f (x,y).

Решением дифференциального уравнения называется функция y= y (x), удовлетворяющая этому уравнению.

Задача нахождения такого решения уравнения y’= f (x,y), которое удовлетворяет условию y(x₀) = y_0, где x₀ , y₀ = заданные числа, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения y^’= f (x,y) называется функция y = φ (x,C), которая при каждом фиксированном значении C как функция от x является решением данного уравнения.

Каждое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при конкретном значении постоянной C, называется частным решением.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

y’ = 2(y-3) (0;4)

y’ = dy/dx; dy/dx = 2(y-3); dy= 2(y-3)dx dy/y-3 = 2dx; ∫dy/y-3 = ∫2dx; ∫dy/y-3 = 2∫dx

ln |y-3| = 2x+c

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

y”+y’- 2y= 0.

Решение:

 

k²+k–2= 0. – характеристическое уравнение

D= 1+8 = 9; = 3; k₁,₂ = -1 ±3/ 2 = 1; -2 .

 

Так как корни действительные и различные то общее решение записывается в виде:

y= C₁l^x +C₂l^-2x

 

Задание 8.Выполнить действия над комплексными числами

 

Z_{1 -} Z₂; Z₁+Z₂; Z₁*Z_2;

если

1. Z₁=5+3i Z₂ = -3+2 i

2. Z₁=-12+5i Z₂ = 7-3 i

3. Z₁=5+7 i Z₂ =-3-4 i

4. Z₁= -2+3 i Z₂ =1-4 i

5. Z₁=-10-8 i Z₂ =7-6 i

6. Z₁= -7-8i Z₂ =3-4i

7. Z₁=-3+5 i Z₂ =5-6 i

8. Z₁=10+3 i Z₂ =20-12 i

9. Z₁=2+i Z₂ = -4-3 i

10. Z₁= -2-3i Z₂ = 8-9 i

 

 

Задание 9: Решить уравнения:

 

1) A_x⁶ = 28 A_x-2⁵

2) A³_x+1 P_x-2 = 30P_x

3) 2C^x-2 _x+2 = A_x²

4) 4C^x-1_x+2 = 3A³_x+2

5) 2C²_x+5 - 15C¹_x = 75

6) A³_x = ¹/₂₀ A⁴_x

7) 4C^x-1_x+2 = A³_x

8) 30x = A³_x

9) x /_Ax3 = ¹/₁₂

10) 5C³_x = C⁴_x+2

 

Экзаменационные вопросы

 

1. История возникновения, развития и становления математики.

2. Определение матрицы и действия над ними.

3. Определители 2-го и 3-го порядка. Определители n-го порядка

4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

5. Предел функции. Основные теоремы о пределах функции.

6. Понятие непрерывности функции, точки разрыва.

7. Понятие производной, основные формулы дифференцирования.

8. Монотонные функции, правило нахождения интервалов монотонности.

9. Экстремумы функции, правило нахождения точек экстремума.

10. Выпуклость графика функции. Правило нахождения интервалов выпуклости.

11. Точки перегиба графика функции, правило нахождения точек перегиба.

12. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

13. План исследования функции с помощью производной.

14. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

15. Геометрический и физический смысл производной.

16. Неопределенный интеграл, основные формулы интегрирования.

17. Неопределенный интеграл, основные свойства неопределенного интеграла.

18. Определенный интеграл и его основные свойства.

19. Методы вычисления определенного интеграла.

20. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

21. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

22. Понятие дифференциального уравнения, основные определения.

23. Дифференциальные уравнения первого порядка.

24. Дифференциальные уравнения второго порядка.

25. Определение комплексного числа и его геометрическое изображение.

26. Действия над комплексными числами

27. Числовые ряды, основные понятия и определения.

28. Признак Даламбера и признак сравнения числовых рядов.

29. Функциональные ряды.

30. Степенные ряды.

31. Основные понятия комбинаторики.

32. Классическое определение вероятности.

33. Теорема сложения вероятностей.

34. Теорема умножения вероятностей.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

А.А. Дадаян.Математика: учебник-Москва: Издательство « Форум»:2010г., Е..В.Филимонова Математика: Издательств « Феникс» Ростов-на-Дону 2008г.,

Е.В.Филимонова Математика и информатика: учебник- Москва: Издательство«Дашков и К», 2007г-480с.

Дополнительные источники:

Б.В.Соболь, Н.Т, Мишняков Практикум по высшей математике,- Москва: Издательство «Феникс»,2005г

Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике: полный курс –Москва :Издательство «АЙРАС»-2007г. 608с.

Интернет-ресурсы:

http://school-collection.edu.ru/Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

http://www.openclass.ru Открытый класс

http://www/metodkabinet.1 сентября, фестиваль педагогических идей