Задание 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На основании опытных данных х и у требуется:

1) построить точки и по точечной диаграмме определить вид эмпирической функции;

2) найти параметры эмпирической функции методом наименьших квадратов;

3) построить график эмпирической функции на точечной диаграмме;

4) выполнить эту работу на ЭВМ.

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на примере опытных данных, приведенных в табл. 16, где х– количество внесенных удобрений определенного вида на 1 га; у – урожайность ячменя, ц/га.

Т а б л и ц а 16. Опытные данные урожайности

Ячменя и количества внесенных удобрений

1. Опытные данные представляют собой пары чисел , которые являются координатами точек на плоскости . Построив их, получим точечную диаграмму (рис.8).

По расположению точек на плоскости делаем вывод, что зависимость между количеством внесенных удобрений и урожайностью ячменя линейная и эмпирическую функцию будем искать в виде , где а и b – неизвестные параметры.

2. Находим параметры а и b методом наименьших квадратов. Для этого заполняем расчетную табл. 17.

Т а б л и ц а 17. Расчетные данные для определения параметров а и b

№ п.п.	хі	уі	хі2	хі уі	ур	Контроль
		21,5			22,7	1,20	1,44
		22,3			22,7	0,40	0,16
	0,3	24,5	0,09	7,35	24,83	0,33	0.1089
	0,3	25,7	0,09	7,71	24,83	–0,87	0,7569
	0,6	28,7	0,36	17,22	26,96	–1,74	3,0276
	0,6	27,5	0,36	16,50	26,96	–0,54	0,2916
	0,9	28,3	0,81	25,47	29,09	0,79	0,6241
	0,9	29,5	0,81	26,55	29,09	–0,41	0,1681
	1,2	30,8	1,44	36,96	31,22	0,42	0,1764
	1,2	31,6	1,44	37,92	31,22	–0,38	0,1444
	1,5	32,3	2,25	48,45	33,35	1,05	1,1025
	1,5	33,7	2,25	50,55	33,35	–0,35	0,1225
	9,0	336,4	9,9	274,68		–0,1	8,123

Результаты вычислений табл. 17 подставим в нормальную систему

и получим систему .

Решив ее, найдем параметры a и b, а=7,1, b=22,7. Подставим эти значения в уравнение и получим уравнение эмпирической функции

Рис. 8.

Для выполнения этой работы на ЭВМ параметры а и b линейной эмпирической функции можно находить по следующим формулам:

Расчет по методу наименьших квадратов в Excel может быть выполнен в следующей последовательности:

1) в ячейки А5:А16 ввести значения х, а в ячейки В5:В16 – значения

у;

2) в ячейку С5 ввести формулу =А5^Л2 и копировать ее в ячейки C6.CI6;

3) в ячейку D5 ввести формулу =А5*В5 и копировать ее в ячейки D6:D16;

4) в ячейку AI8 ввести формулу =СРЗНАЧ(А5:А16) и копировать ее в ячейки D18:D18;

5) вячейку В19 ввести формулу =(DI8-A18*B18)/(C18-AI8^A2), а в ячейку В20 формулу =В 18-В 19*А18;

6)вячейку Е5 ввести формулу ~"В$19*А5+В$20 и копировать ее в ячейки E6:EI6;

7) в ячейку F5 ввести формулу =Е5-В5 и копировать ее в ячейки F6:F16, а в ячейку G5 формулу =F5^A2 и копировать ее в ячейки G6:G16.

Для построения графика с помощью Мастера диаграмм выбрать точечную диаграмму и указать данные в ячейках А5:В16, Е5:Е16. На построенном графике можно указать заголовок и другие надписи.

ПРИЛОЖЕНИЯ

П р и л о ж е н и е 1

Значения функции

О к о н ч а н и е п р и л о ж е н и я 1

П р и л о ж е н и е 2

Критические точки распределения Пирсона (хи-квадрат)

Число степеней свободы	Уровень значимости
0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
	37,7	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

П р и л о ж е н и е 3