Перевод правильных дробей

Системы счисления, используемые в вычислительной технике

 

Для выполнения арифметических действий в позиционных системах счисления используются одинаковые правила и таблицы сложения, вычитания, умножения. Можно обойтись без таблиц, если хорошо знать эти правила для десятичной системы счисления и в процессе вычисления всегда помнить, что есть число 10 в данной системе счисления.

В дальнейшем числа в системе счисления с основанием Р будем помечать (p), в десятичной — без индекса.

В очевидных случаях индекс будем опускать. Базовые значения цифр будем записывать в десятичной системе счисления.

Современные вычислительные машины на аппаратном уровне работают в двоичной системе счисления, т.е. они оперируют с двумя числами: 0 и 1. Но числа, записанные в виде 10011101001000110,трудно воспринимаются человеком. Мы привыкли работать в десятичной системе.

Для решения этой проблемы возможно либо представлять базовые цифры десятичной системы в двоичной форме (так называемая двоично-десятичная система), либо разработать алгоритмы перевода десятичных чисел в двоичные.

 

В вычислительной технике широко используются:

· двоичная система (основание= 2), базисные цифры:

0 и 1;

· восьмеричная (основание= 8), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7;

· десятичная (основание= 10), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;

· шестнадцатеричная (основание= 16), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

Особое положение занимает смешанная двоично-десятичная система, в которой каждая десятичная цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами:

24₍₁₀₎ = 0010 0100_(2-10).

7485₍₁₀₎ = 0111 0100 1000 0101_(2-10).

1001001001010000111_(2-10)= 0100 1001 0010 1000 0111_(2-10)= 49287₍₁₀₎.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

 

Под задачей перевода понимается задача нахождения цифр числа Х, заданного в системе счисления с основанием P, в системе счисления с основанием Q.

Перевод чисел из одной системы в другую основан на том, что значение числа не зависит от формы его представления. Число пять пальцев можно записать по разному, но количество пальцев останется равным пяти.

Пусть есть одна система с основанием Р, а другая с основанием Q. Число Хможно представить по формуле полинома (2.2):

X=A_m ×P^m +A _m-1×P^m-1 +...+A ₁×P¹+A₀ ×P ⁰+A_-1 ×P^-1 +...A_-n ×P^-n , (2.4)

Х=B_k ×Q^k +B _k-1×Q^k-1 +...+B ₁×Q¹+B₀ ×Q ⁰ +B_-1 ×Q^-1 +...B_-j ×Q^-j. (2.5)

Итак, мы имеем два уравнения со многими неизвестными, т.е. они не имеют аналитического решения.

Однако если мы знаем, как представить каждую базисную цифру системы Р в системе Q и умеем пользоваться арифметикой системы Q, то вычислить значение числа не сложно по формуле (2.4).

 

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную

Удобно переводить числа из произвольной системы в десятичную по формуле полинома (2.4).

В этом случае используется разложение числа Х по степеням основания, в котором базовые значения цифр и степени основания представляют в десятичной системе и выполняют все действия в этой же системе.

Пример.

1. Перевести число 11001.1₍₂₎ из двоичной системы в десятичную.

11001.1₍₂₎=1×2⁴ +1×2³ +0×2² +0×2¹ +1×2⁰ +1×2^-1 =16+8+1+1/2=25.5₍₁₀₎.

 

2. Перевести число 123₍₈₎ из восьмеричной системы в десятичную.

123₍₈₎= 1×8² +2×8¹+3⁰ =64+16+3=83₍₁₀₎.

 

3. Перевести число 20А.0С₍₂₎ из двоичной системы в десятичную.

20A.0C₍₁₆₎=2×16² +0×16¹ +A×16⁰ +0×16^-1 +C×16^-2 =

=2×256+0×16+10×1+0×1/16+12×1/256=522.046875₍₁₀₎.

Перевод чисел из десятичной системы в произвольную

При переводе из десятичной системы в произвольную можно воспользоваться полиномом (2.4), но нужно пользоваться арифметикой той системы, из которой мы переводим число. А это затруднительно, т.к. мы, как правило, не знаем не только таблицы умножения в системах, отличных от десятичной, но и таблицу сложения и вычитания!

Целые числа и правильные дроби переводятся по разным правилам.

Перевод целых чисел

Пусть задано Х — целое число в системе P. Требуется найти цифры этого числа в системе счисления с основанием (10).

Алгоритм перевода целых чисел основан на делении целого числа на основание системы:

1. Исходное число X=A_m ×P^m +A _m-1×P^m-1 +...+A ₁×P¹+A₀ ×P ⁰ делим на основание Р:

X/P= A_m ×P^m-1 +A _m-1×P^m-2 +...+A ₁×P⁰+ A₀ /P.

2. Разделяем результат на целую и дробную части:

Целая [X/P]= A_m ×P^m-1 +A _m-1×P^m-2 +...+A ₁×P⁰.

Дробная {X/P}= A₀ /P.

Т.к. любая базовая цифра меньше основания системы, то A₀/P >=0.

3. Находим А₀:

А₀= {X/P}× P= остатку от деления.

4. Целую часть снова делим на основание и получаем A₁:

[X/P]/P= A_m ×P^m-2 +A _m-1×P^m-3 +...+A₀+A ₁×P^-1.

5. Повторяем п.4, пока целая часть не станет равной 0.

На каждой итерации остаток от деления представляет собой коэффициент полинома A_i.

6. Записываем остатки и последнее частное в порядке, ОБРАТНОМ их получению в НОВОЙ системе счисления.

 

Пример.

1. Перевести число 13 из десятичной системы в двоичную.

13/2= 6, остаток 1 ® A₀;

6/2= 3, остаток 0 ® A₁;

3/2= 1, остаток 1 ® A₂;

1/ 2=0, остаток 1 ® A₃.

Запишем результат:

13₍₁₀₎=1101₍₂₎.

 

2. Перевести число 13 из десятичной системы в восьмеричную.

13/8= 1, остаток 5 ® A₀;

1/8= 0, остаток 1 ® A₁.

Запишем результат:

13₍₁₀₎= 15₍₈₎.

 

3. Перевести число 13 из десятичной системы в шестнадцатеричную

13/16= 0, остаток 13 ® A₀.

Запишем результат:

13₍₁₀₎= 13₍₁₆₎.

Особый случай возникает, если между основаниями систем существует соотношение:

P= Qⁿ . (2.6)

В этом случае каждую базисную цифру системы Р можно представить n-разрядным числом в системе Q.

Для двоичной и восьмеричной системы справедливо:

2³ =8.

Каждой восьмеричной цифре соответствует двоичный код из 3-х цифр. Такой код называется ТРИАДОЙ. Запишем триады всех восьмеричных цифр:

0 – 000, 4 – 100,

1 – 001, 5 – 101,

2 – 010, 6 – 110,

3 – 011, 7 – 111.

Пример.

1. Перевести число 13 из восьмеричной системы в двоичную.

13₍₈₎= 001 011₍₂₎.

2. Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в восьмеричную.

10 100 101 100 101₍₂₎= 24545₍₈₎.

3. Перевести число 13 шестнадцатеричной системы в двоичную.

13₍₁₆₎= 0001 0011₍₂₎.

4. Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в шестнадцатеричную.

10 1001 0110 0101₍₂₎= 2965₍₁₆₎.

 

Перевод правильных дробей

Пусть X(p) — правильная дробь в системе счисления с основанием P=10. Требуется найти цифры этого числа в системе счисления с основанием Q.

Воспользуемся полиномом (2.4), но будем использовать только дробную часть.

Х=0 ×Q ⁰ +B_-1 ×Q^-1 +B_-2 ×Q^-2 +...B_-j ×Q^-j.

Значение X представляет собой дробную часть, т.е. X= {X}.

Умножим Х на основание системы Q:

Х×Q=0 ×Q ¹ +B_-1 × Q⁰ +B_-2 ×Q^-1 +...B_-j ×Q^-j+1 =[X]+ {X} .

Подчеркнутая часть представляет собой целое число (возможно 0), т.к. все базисные числа целые, а Q⁰= 1. Следовательно, целая часть, полученная после умножения, есть первая цифра искомого числа. Далее выделяем дробную часть и снова умножаем ее на основание системы.

Процесс умножения заканчивается в двух случаях:

1) когда на каком-то шаге получится дробная часть, равная 0. В этом случае дробь переводится в новую систему ТОЧНО;

2) дроби в новой системе счисления соответствует БЕСКОНЕЧНАЯ дробь. В этом случае процесс заканчивают получением наперед заданного случае количества цифр. Часто выделяется период бесконечной дроби.

Пример.

1. Перевести число 0.25 из десятичной системы в двоичную.

0.25 0.50

´ 2 ´ 2

0.50 1.00

0. 0 1, т.е. число 0.25₍₁₀₎= 0.01₍₂₎.

2. Перевести число 0.25 из десятичной системы в восьмеричную.

0.25

´ 8

2.0

0.2, т.е. число 0.25₍₁₀₎= 0.2₍₈₎

3. Перевести число 0.3 из десятичной системы в шестнадцатеричную.

0.3 0.8 0.8

´ 16 ´ 16 ´16

4.8 12.8 12.8

0. 4 С С ….., т.е. число 0.3₍₁₀₎= 0.ССС…..₍₁₆₎

 

 

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующей схеме: десятичное число делится нацело на основание 2, затем на 2 делятся последовательно все частные от целочисленного деления, до тех пор пока частное не станет меньше основания. В результат заносится последнее частное и все остатки от деления, начиная с последнего.