Средние величины. Показатели вариации

Показатели, при помощи которых статистика характеризует отдельные группы единиц совокупности или всю совокупность в целом могут выражаться в форме абсолютных, относительных или средних величин.

Средняя также является важнейшей формой статистического показателя, позволяющей получить обобщенную числовую характеристику статистической совокупности. Основное свойство средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений осредняемого признака и проявляется то общее, типичное, что присуще данному объекту в целом.

Необходимо учитывать, что средняя только тогда будет являться типичной, когда она рассчитана по однородной совокупности. В противном случае в ней сгладятся не только случайные, но и существенные различия между значением признака у отдельных единиц. Поэтому, если для совокупности условие однородности не выполняется, то общая средняя должна быть заменена или дополнена средними, рассчитанными по отдельным группам, то есть групповыми средними.

При изучении теории средних особое внимание необходимо уделить вопросу правильного выбора средней для каждого конкретного случая. В статистической практике используется средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и степенные средние более высоких порядков. Все степенные средние могут быть либо взвешенными, либо невзвешенными (простыми).

Выбор того или иного вида средней базируется на исходном соотношении средней (ИСС), представляющем собой отношение двух экономических категорий, приводящее к искомому среднему показателю. Для каждого конкретного среднего показателя можно составить только одно истинное исходное соотношение, независимо от формы представления исходных данных.

Рассмотрим выбор средней на конкретных примерах.

Предположим, что распределение работников мастерской по уровню заработной платы характеризуется следующими данными:

 

Заработная плата (руб.)	Число работников

 

 

Для определения средней заработной платы составим исходное соотношение:

 

Фонд заработной платы ( руб.)

Средняя зар. плата =-----------------------------------------------------

Число работников

 

Реализуем полученное исходное соотношение:

руб.

В данном случае мы использовали среднюю арифметическую взвешенную

 

, где х_i - значения осредняемого признака;

f_i - веса.

Если бы значения осредняемого признака не повторялись, тогда достаточно было бы использовать среднюю арифметическую невзвешенную:

где n - объем совокупности.

 

Определим теперь среднюю урожайность сельскохозяйственной культуры по фермерским хозяйствам области:

 

Группы хозяйств по урожайности, ц/га	Число хозяйств	Средняя посевная площадь (в расчете на 1 хозяйство), га.
до 18
18 - 20
20 - 22
22 и более

 

Составим исходное соотношение для показателя "Средняя урожайность":

Валовый сбор (ц)

Средняя урожайность = --------------------------------------------------

Общая посевная площадь (га.)

Прежде чем приступить к реализации исходного соотношения отметим, что при работе с интервальными рядами распределения необходимо от интервалов перейти к их серединам, при этом величина открытых первого и последнего интервалов условно приравнивается к величине второго и предпоследнего интервалов. В нашем примере середины интервалов будут следующими: 17, 19, 21, 23.

Реализуем составленное исходное соотношение:

 

ц/га

 

Рассмотрим следующий пример, в котором, также как и в первом примере, предлагается определить среднюю заработную плату работника в целом по предприятию:

 

Цех	Фонд заработной платы (руб.)	Средняя заработная плата (руб.)

 

Исходное соотношение для показателя "средняя заработная плата" уже составлено нами в первом примере. При его реализации будем учитывать, что число работников в каждом цехе можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату:

Средняя заработная плата по трем цехам:

руб.

Мы применили

среднюю гармоническую взвешенную:

Средняя гармоническая простая в расчетах применяется крайне редко.

На использовании средней геометрической базируется показатель среднего темпа роста уровней рядов динамики. Средняя квадратическая и степенные средние более высоких порядков находят применение в ряде расчетных статистических показателей - моментах, показателях вариации и т.п.

Помимо степенных средних в статистике применяются так называемые структурные средние, наиболее распространенными среди которых являются мода и медиана.

Модой называется вариант признака, имеющий наибольшую частоту. Медиана представляет собой вариант, находящийся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда всех значений признака.

Вычисление моды (М_о) и медианы (М_е) различно для дискретных и интервальных рядов.

В дискретных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Для определения медианы вычисляются накопленные частоты, медианным будет тот вариант, накопленная частота которого первой превысит половину всех частот.

Для интервальных вариационных рядов расчет моды и медианы требует применения специальных формул:

где x ₀ - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i - величина модального интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

где X_o - нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого первой превышает половину всех частот);

i - величина медианного интервала;

S_Me-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

F_Me - частота медианного интервала.

Определим моду и медиану по следующему ряду распределения:

Распределение торговых предприятий города по размеру среднесуточного товарооборота

 

Среднесуточный товарооборот, млн. руб.	Число предприятий	Накопленная частота
до 10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60 и более
ИТОГО:		-

 

Определим моду и медиану:

млн. руб.

млн. руб.

 

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается познавательное значение абсолютных и относительных величин?

2. В чем состоит сущность средней?

3. В чем заключается связь метода группировок и метода средних?

4. Какие виды средних вы знаете?

5. В каких случаях применяется простая (невзвешенная) средняя?

6. Когда необходимо использовать среднюю гармоническую?

7. Можно ли для одних и тех же исходных данных использовать две формулы средней?

8. Что характеризуют мода и медиана?

Задания для практических и самостоятельных работ.

 

Задача № 1.На одном из заводов безалкогольных напитков были произведены инвестиции в развитие его производства. Для того, чтобы окупить инвестиции, прирост выпуска продукции на заводе в 2011 г. должен был составить 9,5%. Фактический выпуск продукции на заводе в 2011 году по сравнению с предыдущим годом составил 117%. Определите относительную величину выполнения плана.

Задача № 2. Имеются следующие данные о дневной реализации помидоров на рынках города:

 

Рынок	Объем реализации (руб.)	Средняя цена 1 кг (руб.)

 

Вычислите среднюю цену 1 кг помидоров в целом по всем рынкам города.

 

Задача № 3. Известно распределение работников предприятия по возрасту:

 

Возраст, лет	Число работников, в % к итогу
до 25	14,0
25-35	22,0
35-45	20,0
45-55	17,0
55-65	15,0
65 и старше	12,0

 

Определите средний возраст работника.

 

Задача № 4. По данным задачи 3 рассчитайте моду и медиану.

 

Задача № 5. Имеются данные о динамике внешней торговли в России:

Годы
Внешнеторговый оборот, млрд. долларов США	168,3	212,0	80,6	369,2	467,8	7,9

 

Рассчитайте относительные величины динамики: а) с постоянной и б) переменной базой сравнения. Определите между ними взаимосвязь.

Исследование вариации является составным элементом статистического анализа, позволяющим оценить колебания значений изучаемого признака, однородность совокупности по данному признаку, взаимосвязь его с другими признаками. Показатели вариации служат критерием типичности рассчитанных по совокупности средних величин, используются в определении ошибок выборочных характеристик.

При изучении данной темы необходимо обратить особое внимание на расчет основных показателей вариации - дисперсии (s²), среднего квадратического отклонения (s), среднего линейного отклонения (d), коэффициента вариации (V) - по первичным и сгруппированным данным (рядам распределения). Во втором случае применяются не простые, а взвешенные формулы соответствующих показателей.

Рассмотрим вычисление показателей вариации на следующем примере:

Таблица 8.

Распределение предприятий торговли района по размеру торговой площади

 

Группы предприятий по размеру торговой площади, м2	Число пред-прия- тий fi	Сере – дина интер – вала Xi	хifi
до 100
100-200
200-300
300-400
400 и более
ИТОГО		х

 

Заполнению последних четырех граф данной таблицы предшествовал расчет средней величины изучаемого признака, выполненный по формуле средней арифметической взвешенной:

м²

Вычислим показатели вариации:

 

м²

м²

м

 

Статистическую совокупность можно считать однородной по рассматриваемому признаку, если коэффициент вариации не превышает 33%.

При формулировке выводов о степени вариации следует обратить внимание на то, что коэффициент вариации является относительной мерой колеблемости и может приводить к результатам, противоположным полученным на основе абсолютных показателей вариации. Так, например, если в первом цехе дисперсия выработки деталей работниками при средней выработке х₁=140, а во втором цехе эти показатели соответственно и х₂=170, то абсолютная вариация будет сильнее во втором цехе ( ), а относительная в первом:

и

Наибольшую трудность в изучении данной темы представляет расчет общей дисперсии по правилу сложения дисперсий:

,

где - средняя из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Правило сложения дисперсий может быть применено только в том случае, когда совокупность разбита на две или более группы по какому-либо факторному признаку, предположительно оказывающему влияние на вариацию исследуемого результативного признака.

Вариация признака внутри групп определяется воздействием всех прочих факторов и отражается в величине средней из внутригрупповых дисперсий. Тесноту связи между факторным и результативным признаками оценивают с помощью эмпирического корреляционного отношения:

Данный показатель может принимать значения от 0 до 1.

На следующем условном примере исследуем зависимость между собственными и привлеченными средствами коммерческих банков региона:

Банк	Собственные средства, млн. руб.	Привлеченные средства, млн. руб.

 

Произведем группировку банков, выделив две группы по величине собственных средств брутто до 100 млн. руб. и свыше 100 млн. руб., и проанализируем влияние данного группировочного признака (фактора) на размер привлеченных средств. Первая группа объединит коммерческие банки N-N 1, 2, 5, 7, 8, 9, во вторую группу войдут N-N 3, 4, 6, 10.

Расчет эмпирического корреляционного отношения состоит из нескольких этапов:

1) рассчитываем групповые средние и общую среднюю по результативному признаку - привлеченные средства (i - номер группы, j - номер единицы в группе):

;

2) рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

 

;

;

3) вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

4) определяем межгрупповую дисперсию:

;

5) находим общую дисперсию по правилу сложения:

;

6) рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор, положенный в основание группировки (собственные средства брутто), существенно влияет на размер привлеченных средств.

 

Вопросы для самопроверки.

 

1. Чем порождается вариация признака?

2. Какими абсолютными показателями измеряется вариация?

3. Что такое дисперсия и как она вычисляется?

4. Что характеризует среднее линейное отклонение?

5. Какие выводы можно сделать на основе коэффициента вариации?

6. В чем смысл правила сложения дисперсий?

Задания для практических и самостоятельных работ.

 

Задача № 1. В целях контроля качества выпускаемых предприятием электроламп на стенде выполнены замеры продолжительности горения 500 ламп, которые привели к следующим результатам:

 

Продолжительность горения, час.
Число ламп, шт.

 

Определите: 1) размах вариации; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) среднее линейное отклонение; 5) коэффициент вариации.

Ответы: 1) 500 ч.; 2) 13980; 3) 118 ч.; 4) 97 ч.; 5) 6,1%.

 

Задача № 2. Сотрудники одной из корпораций распределены по возрасту следующим образом:

Группы сотрудников по возрасту, лет	Число сотрудников	Группы сотрудников по возрасту, лет	Число сотрудников
до 20		35 - 40
20 – 25		40 - 45
25 – 30		45 и более
30 - 35

 

Определите: а) средний возраст сотрудников; б) дисперсию двумя способами.

 

Задача № 3. Обеспеченность населения города общей жилой площадью характеризуется данными:

Размер общей жилой площади на одного члена семьи, кв. м.	До 10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	Свыше 20
Число семей

Определите:

1. средний размер общей жилой площади на одного члена семьи;

2. среднее квадратическое отклонение;

3. дисперсию по правилу сложения дисперсий;

4. коэффициент вариации.