Нормальное уравнение плоскости
Плоскость и прямая в пространстве Общее уравнение плоскости Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x0,y0,z0) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис. 1)
Возьмём на плоскости p любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и . ^ Þ ( , ) = 0 (1) Обозначим радиусы векторы точек и , соответственно и . Тогда уравнение (2) можно записать так: . (2) Получим векторное уравнение плоскости. Запишем левое уравнение (2) в координатной форме. =(x0-x, y0-y, z-z0), =(A, B, C) ( , ) = 0 A(x-x0) + B(y0-y) + C(z-z0)=0 (3) Запишем правое уравнение (2) в координатной форме: , (4) где . Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости в пространстве, а уравнение (3) – уравнением прямой, проходящей через данную точку. Рассмотрим, в чём заключаются особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль. 1. A=0. В этом случае вектор N=Bj+Ck; он компланарен ортам j и k, т.е. параллелен плоскости Oyz, поэтому соответствующая плоскость будет параллельна оси Ox. Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy, если С = 0, то плоскость параллельна оси Oz. 2. D=0. Плоскость проходит через начало координат. 3. A=0, B=0 Þ плоскость параллельна плоскости Oxy (перпендикулярна оси Oz); уравнение такой плоскости приводится к виду z = c. Аналогично, если A=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Oy; если B=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Ox. Уравнения таких плоскостей приводится соответственно к виду y = b; x = a. 4. A=D=0. Плоскость проходит через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox(A=0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично, если B=D=0, то плоскость проходит через ось Oy. Если C=D=0, то плоскость проходит через ось Oz. 5. A=B=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxy, её уравнение z = 0. A=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxz, её уравнение z = 0. B=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, её уравнение x = 0. Уравнение в отрезках Пусть в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 , A¹0 , B¹0 , C¹0 , D¹0, т.е. плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало. Преобразуем уравнение следующим образом: Ax + By + Cz = -D , обозначив a = (-D/A); b = (-D/B); c = (-D/C), будем иметь Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра. Рис. 2
Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде = ; оба способа равнозначны, поскольку =x + y + z . При любом положении точки М на плоскости p проекция её радиуса вектора на направление вектора всегда равна p: . Но это равенство можно записать используя скалярное произведение. = (r,n) - p = 0 (6) Это также векторное уравнение плоскости p. От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению. Обозначим через a, b, g углы образованные единичным вектором с ортами , , . Тогда cosa, cosb и cosg будут координатами этого вектора: = cosa + cosb + cosg (7) Кроме того, известно, что = x + y + z (8) Выразим ( - ) - p = 0 в координатной форме: ( , ) - p = x cosa + y cosb + z cosg – p = 0 (9)
Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме. Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0 (10) Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости? Так как уравнения (6) и (7) определяют одну и ту же плоскость p, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. (11) при некотором l, из равенств (11) определяем l: ôlô= (9) Знак l определяем для случая D¹0 из четвёртого равенства (11); так как p>0, то lD<0 и, следовательно, l имеет знак, противоположный знаку D. Определение: Число l, имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (10). При D=0 можно знак l выбрать произвольно. Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (10) получить нормальное уравнение плоскости (9), надо обе части уравнения (10) умножить на нормирующий множитель этого уравнения.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (535)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |