Формула Ньютона-Лейбница
Понятие определенного интеграла
и рассмотрим сумму , (1) которая называется интегральной суммой. Определение 1. Определенным интегралом от функции по промежутку (обозначается ) называется предел интегральных сумм (1), если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек . Для каких функций определенный интеграл существует, т. е. соответствующие функции интегрируемы на отрезке ? Для ответа на этот вопрос надо установить сходимость сумм Дарбу (1). Для этого надо рассмотреть верхнюю и нижнюю суммы Дарбу (значения функции берутся соответственно самые большие и самые маленькие на каждом промежутке) и доказать, что разность между ними стремится к 0 при . Этот факт интегрируемости функции несложно установить для непрерывной функции на отрезке. Доказаны и более тонкие теоремы об интегрируемости монотонных и кусочно непрерывных функций.
Свойства определенного интеграла
Теорема 1. (Линейные свойства определенного интеграла) Пусть функции и интегрируемы на отрезке (т. е. существуют интегралы и ). Тогда справедливы следующие формулы: (2) (3) (4) (5) Теорема 2. (Свойства аддитивности и монотонности определенного интеграла) Пусть функции и интегрируемы на отрезке и . Тогда справедливы следующие формулы: (6) (7) Доказательство. Каждый из написанных интегралов является пределом соответствующих интегральных сумм. А для этих конечных сумм написанные формулы, безусловно, справедливы. Теоремы доказаны.
Теорема 3. (Теорема о среднем) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует значение , для которого справедлива следующая формула: (8) Доказательство. Непрерывная функция на отрезке достигает на этом отрезке свое наименьшее значение и наибольшее значение . Тогда или , откуда и , что равносильно (8).. Теорема доказана.
Интеграл с переменным верхним пределом
Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом и непрерывной функцией . Заметим, что , где , поэтому, очевидно, . (9) Итак, справедлива следующая теорема: Теорема 4. (Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом) Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции в точке верхнего предела.
Формула Ньютона-Лейбница
Еще раз рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом и непрерывной функцией . Так как производная от функции равна , то справедлива формула , где - одна из первообразных функции , - константа, которую надо найти. Записывая равенство при , получим . Следовательно, справедлива формула и нами доказана важная теорема: Теорема 5. (Формула Ньютона-Лейбница) Для непрерывной функции справедлива формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла (10)
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (312)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |