Пример расчета экстремума функции методом средней точки
Постановка задачи. Найти минимум функции f(x) = (1-x)2 +3(x-5)2+8 с точностью l=0,01. Выбираем начальный интервал [-10, 10]. Результаты расчетов представлены в таблице 2.10. Таблица 2.10 Расчет экстремума функции f(x) = (1-x)2 +3(x-5)2+8 методом средней точки.
Таким образом, на двенадцатой итерации с точности 0,01 найден экстремум функции f(x) = (1-x)2 +3(x-5)2+8, который находится в точке =3,999. 2.3.3. Метод кубической аппроксимации. В методе кубической аппроксимации при построении многочлена, аппроксимирующего минимизируемую функцию, помимо значений функции используются и значения ее производных. Предполагается, что заданы две точки x1 и x2 таким образом, что минимум функции f(x) находится внутри интервала [x1; x2], известны значения функции в этих точках f(x1)=f1, f(x2)=f2 и значения производных f'(x1)=f'1, f'(x2)=f'2. Аппроксимирующая функция задана полиномом, который имеет вид: Н(x) = f1+ a1(x - x1) + a2(x - x1)(x - x2) + a3(x - x1)2(x - x2) с коэффициентами
Несложно проверить, что H(x1)=f1, H(x2)=f2, H΄(x1)=f΄1, H΄(x2)=f΄2. Производная H΄(x) является квадратичной функцией, непрерывной на отрезке [x1; x2] и имеющей на его концах различные знаки. Поэтому, в интервале она может изменить знак лишь один раз в точке , которая является стационарной точкой многочлена H(x), а именно точкой его минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Из необходимого условия H΄(x)=0 экстремума этого многочлена получаем квадратичное уравнение
. Его решение определяется следующим образом: , где , . Если , то новый интервал будет равен , иначе . Вычисления прекращаются, когда длина конечного интервала не станет меньше заданной точности. Алгоритм метода кубической аппроксимации. Начальный этап. Задать начальный интервал [x1, x2] и точность поиска l. Перейти к основному этапу. Основной этап. Шаг 1. Вычислить значения функции f(x1)=f1, f(x2)=f2 и значения производных f'(x1)=f'1, f'(x2)=f'2. Рассчитать коэффициенты , и оптимальное решение Шаг 2. Если |x2 - x1| < l, то закончить расчет, оптимальное решение находится в точке , иначе перейти к шагу 3. Шаг 3. Если , то x1=x1, x2= , иначе x1= , x2= x2, перейти к шагу 1. Пример расчета экстремума функции методом кубической аппроксимации. Постановка задачи.Найти минимум функции f(x) = x2 –16/x методом кубической аппроксимации. Выбираем начальный интервал [-5; 10] и точность поиска равную 0,1. Результаты расчета приведены в таблице 2.11. Таблица 2.11 Результаты расчета минимума функции f(x) = x2 –16/x методом кубической аппроксимации.
Таким образом, на шестом шаге с точностью 0,01 найден экстремум функции =-2,000,который совпадает с экстремумом, полученным аналитически. 3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ. Выполнение заданий предусматривает: - для заданной функции поиск экстремума аналитически и его анализ; - определение начального интервала неопределенности методом сканирования, построение графика функции; - поиск минимума функции методами одномерной оптимизации, рассмотренными выше, при заданных параметрах; - выводы об эффективности методов. Требования к отчету: В отчете должны быть представлены результаты выполнения указанных этапов и выводы к ним. Отчет представляется индивидуально каждым студентом. Варианты заданий приведены в таблице 3.1 Таблица 3.1 Варианты заданий
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мочалов С.П. Методы оптимизации металлургических процессов: Учебное пособие / КузПИ. –Кемерово, 1989.- 81с. 2. А.В. Аттеков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 440с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып.XIV). 3. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. 4. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1975. 5. Банди. Методы оптимизации. -М.: Радио и связь, 1988. 6. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Ecxel 7.0. –СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 1997.- 384с., ил.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (859)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |