Вычисление определенного интеграла
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Обозначим . Производная функции по переменному верхнему пределу х имеет вид: . Аналогичная формула справедлива и для случая переменного нижнего предела. Теорема. Для всякой функции , непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция – произвольная первообразная от непрерывной функции , то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство. Пусть – произвольная первообразная функции на отрезке . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция также является первообразной для функции на этом отрезке. Так как любые две первообразные непрерывной функции могут отличаться только на постоянную, то или . При соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при : . Тогда . А при : . Заменив переменную на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница: . Теорема доказана. Иногда применяют обозначение . Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных в определённом интеграле
Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке . Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если 1) , 2) функции и непрерывны на отрезке 3) функция определена на отрезке , то . Тогда Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. Пример. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку, , т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (332)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |