Предел функции нескольких переменных
Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Предел и непрерывность функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты остаются справедливыми для функций произвольного числа переменных. Пусть дано множество , и пусть указано правило (закон), по которому каждой точке ставится в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией). Функцию иногда записывают в виде . Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и . Графиком функции называют множество точек пространства . Обычно графиком функции является некоторая поверхность. Расстоянием между двумя произвольными точками и евклидова пространства называется число , определяемое формулой: . Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке . Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки . Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ). Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Замечание. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему. Определение. Множество называется открытым, если все его точки – внутренние. Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества . Пример. Если , то . При этом . Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от . Замечание. Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству. Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку .
Предел функции нескольких переменных
Определение. Говорят, что последовательность точек сходится при к точке , если стремится к 0 при стремящемся к . В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при . Можно показать, что при тогда и только тогда, когда одновременно числовая последовательность сходится к числу , а числовая последовательность сходится к числу при (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости). Пусть и – предельная точка множества . Определение. Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут или при . Замечание.В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой). Пример. Найти . Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда . Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . Пример. Найти . По любой прямой предел один и тот же: . С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда . Следовательно, предела не существует. Сформулируем понятие предела функции для случая, её аргументы стремятся к к бесконечности. Ограничимся случаем, когда , (понятие предела функции в остальных случаях формулируются аналогично). Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так: . Теорема. Если существуют и , то ; ; , где предельная точка может быть конечной или бесконечной. Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (930)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |