Многомерные случайные величины

Распределение двумерных случайных величин.

Понятие многомерной случайной величины

Упорядоченный набор случайных величин называется многомерной ( мерной) случайной величиной (или системой случайных величин, мерным вектором).

Например погода в данном месте в определённое время суток может быть охарактеризована многомерной случайной величиной , где температура, влажность, давление, скорость ветра и т.п.

Функцией распределения мерной случайной величины называется функция , выражающая вероятность совместного выполнения неравенств , т.е

.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением системы двух случайных величин.

Двумерные случайные величины и их функция распределения

Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Определение. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств :

.

Свойства функции распределения системы двух случайных величин.

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу:

.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице:

2) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю:

4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

.

Плотность распределения системы двух случайных величин

Определение.Плотностью совместного распределениявероятностей двумерной случайной величины называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

.

Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле:

.

Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

.

По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины:

; .