Общий вид линейного уравнения
Линейные уравнения имеют вид: , где коэффициенты , и являются функциями только переменных . Если , то это уравнение называется линейным однородным, в противном случае – неоднородным, если коэффициенты , и постоянны, то это уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Принадлежность уравнений к тому или иному классу – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Произведём классификацию уравнений, в которых , тогда уравнение, линейные относительно старших производных, можно записать в виде: (1), а линейные в виде: , где коэффициенты , и - функции только независимых переменных . Любое такое уравнение с помощью замены переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду. Сделаем в (1) замену по формулам: , устанавливающим взаимнооднозначное соответствие между точками и , тогда
, рассмотрим дискриминант рассмотрим 3 случая: 1. - (1) называется гиперболическим.
Если (1) гиперболично в области D, то в этой области существуют такие , что уравнение (1) приводиться к канонической форме, заменой : .Причём являются общими интегралами о.д.у. Если (1) эллиптично в области D, то в этой области существуют такие , что уравнение (1) приводиться к канонической форме, заменой переменных : Если (1) параболично в области D, то в этой области существуют такие , что уравнение (1) приводиться к канонической форме, заменой :
Рассмотрим уравнение:
Получили систему с тремя неизвестными, нужно третье уравнение, чтобы её решить. Вспомним про наше уравнение:
Система решается, если определитель не равен нулю, если же он равен нулю, то направления определяемые (dx, dy) характеристические, рассмотрим эту ситуацию. получили, что есть два значения, запрещающие задавать начальные условия, там решение ведёт себя особым образом, мы получим при решении противоречие – это две характеристики. Рассмотрим три случая: >0 – уравнение гиперболического типа. =0 – уравнение параболического типа. <0 – уравнение эллиптического типа.
Уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде: (1), Любое такое уравнение с помощью замены переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду. Сделаем в (1) замену по формулам: , устанавливающим взаимнооднозначное соответствие между точками и , тогда:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (707)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |