Решение систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУр)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: . (1)
Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же , то такая система называется однородной. Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства. Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.
Формулы Крамера для решения СЛАУр
Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид , где .
В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.
Пример 1. Решить систему по формулам Крамера. Решение Формулы Крамера: . Вычислим определители:
, , тогда
, , . Итак, , , . Ранг матрицы
Пусть дана матрица .
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r. Очевидно, – меньшее из чисел m и n. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса. Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами: 1. Вычеркивание нулевой строки. 2. Умножение какой либо строки на число. 3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число. 4. Перестановка двух столбцов или двух строк.
Теорема 1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Рассмотрим матрицу специального вида
в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.
Теорема 2.Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема 3.Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.
Пример 2. Найти ранг матрицы . Решение ~ ~ На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (258)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |