Раскрытие неопределённостей от показательных и логарифмических функций
Для функций этого третьего класса также требуется специальная Теорема (второй замечательный предел). где число - бесконечная, непериодическая десятичная дробь (посмотрите приближённое значение этого числа на своём калькуляторе). Обычно помнят . Важно, что Заметим, что число , пожалуй, самое употребительное число и, соответственнно, связанные с этим числом функции и натуральные лагорифмы. График функции называется экспонентой.
Теорему принимаем без доказательства и заметим, что теорема раскрывает неопределённость типа
3
1
Пример 25. Вычислить Решение. Сделаем замену переменной тогда и получим Заметим, что второй замечательный предел применяется общем виде: Пусть , где - любое число или , но функция , тогда (1) Пример 26. Вычислить Решение. Посмотрим на структуру формулы (1): во – первых, в основании степени находится сумма единицы и некоторой б.м. функции ; во – вторых, в показателе степени стоит - выражение, обратное второму слагаемому в основании степени («перевёрнутое» второе слагаемое), Таким образом, задача ясна: надо выделить слагаемое Это можно делать различными искусственными методами, но проще всего следующим образом – добавим и отнимем единицу в основании степени:
Вот мы и получили функцию – она является б.м. при . Далее надо «подогнать» наш предел под форму второго замечательного предела, т.е. под формулу (1). Это означает, что в показателе степени надо иметь , т.е. . Опять же проще всего просто поместить нужное выражение в показателе степени, а чтобы сохранить равенство, на это выражение надо поделить (в показателе степени):
Пример хорошо показывает, что мы просто «подгоняли» под формулу (1). Ещё раз продемонстрируем это на следующих примерах. Пример 27.
Пример 28.
Пример 29. Из второго замечательного предела в качестве следствия тоже можно получить цепочку эквивалентностей. Рассмотрим второй замечательный предел и прологарифмируем обе части этого равенства по основанию е (говорят «возьмём натуральные логарифмы от обеих частей равенства»); при этом учтём, чтo логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: . и окончательно получаем Следствие. при . Пример 30. Следствие. при Объединяя оба следствия, получим цепочку эквивалентностей при , или в общем виде при Пример 31. Цепочку эквивалентностей можно применить и для решения предыдущих примеров. Вернёмся к примеру 27 и обозначим его: А= . Прологарифмируем это равенство: lnA= )= - 1)= )= ln(1+ ) = = lnA= , A= .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1717)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |