Вычисление числовых характеристик выборки

Введение

Математическая статистика-наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности , дающую возможность оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании.

 

 

 

Исходные данные

Вариант 2

1,70	3,33	3,67	2,31
1,08	-0,02	0,50	-1,17
1,17	0,97	1,62	2,05
1,56	1,28	-1,25	-0,23
1,60	1,40	-1,90	1,84
-1,28	-0,99	0,18	5,27
-0,98	2,12	0,08	-1,33
0,08	3,33	1,49	2,55
1,79	0,81	-0,32	-2,30
5,41	4,02	4,23	2,63
1,16	2,82	0,81	-1,22
1,17	3,12	0,13	1,85
2,15	2,37	1,89	1,03
1,91	1,44	0,01	3,84
1,71	3,35	-1,02	0,06
2,61	1,74	-2,74	0,30
-1,16	-0,50	-0,06	1,46
0,21	-0,31	0,08	-0,47
1,06	2,36	1,78	1,51
-0,83	0,52	-1,01	1,84
-1,43	-3,11	-0,67	2,48
-0,42	2,50	2,11	0,01
3,56	-0,33	-1,60	1,13
3,68	0,79	-0,21	0,53
1,93	-1,51	0,67	3,79

 

 

Порядок расчета

Составление вариационного ряда.

Представляем выборку в виде вариационного ряда –последовательности исходных величин ,записанных в возрастающем порядке.

-3,11	-0,23	1,13	2,11
-2,74	-0,21	1,16	2,12
-2,30	-0,06	1,17	2,15
-1,90	-0,02	1,17	2,31
-1,60	0,01	1,28	2,36
-1,51	0,01	1,40	2,37
-1,43	0,06	1,44	2,48
-1,33	0,08	1,46	2,50
-1,28	0,08	1,49	2,55
-1,25	0,08	1,51	2,61
-1,22	0,13	1,56	2,63
-1,17	0,18	1,60	2,82
-1,16	0,21	1,62	3,12
-1,02	0,30	1,70	3,33
-1,01	0,50	1,71	3,33
-0,99	0,52	1,74	3,35
-0,98	0,53	1,78	3,56
-0,83	0,67	1,79	3,67
-0,67	0,79	1,84	3,68
-0,50	0,81	1,84	3,79
-0,47	0,81	1,85	3,84
-0,42	0,97	1,89	4,02
-0,33	1,03	1,91	4,23
-0,32	1,06	1,93	5,27
-0,31	1,08	2,05	5,41

 

Составление сгруппированного статического ряда.

Найдены наименьший и наибольший элементы выборки:

Отрезок разбиваем на k равных по длине промежутков. При объеме выборки n=100 рекомендуется брать k=8. Число – частота попадания элементов выборки в j-й промежуток .

Таблица 1

Интер-вал	[-3,5; -2,375]	(-2.375; -1,25]	(-1,25; -0,125]	(-0,125; 1]	(1; 2,125]	(2,125; 3,25]	(3,25; 4,375]	(4,375; 5,5]

Построение гистограммы выборки.

Для построения гистограммы дополним таблицу 1тремя строками :

, где - длина j –го промежутка ;

- относительная частота попадания элементов выборки в j-й промежуток (таблица 2).

Таблица 2

Интервал	[-3,5; -2,375]	(-2,375; -1,25]	(-1,25; -0,125]	(-0,125; 1]	(1; 2,125]	(2,125; 3,25]	(3,25; 4,375]	(4,375; 5,5]
	1,125	1,125	1,125	1,125	1,125	1,125	1,125	1,125
	0,02	0,08	0,17	0,2	0,3	0,11	0,1	0,02
	0,002	0,008	0,017	0,02	0,03	0,011	0,01	0,002

 

Рис. 1

Построение графика эмпирической функции распределения.

Для построения график эмпирической функции распределения в таблицу 1 добавляем две строки, в которых следует записать значения

(таблица 3).

Таблица 3

Интервал	[-3,5; -2,375]	(-2.375; -1,25]	(-1,25; -0,125]	(-0,125; 1]	(1; 2,125]	(2,125; 3,25]	(3,25; 4,375]	(4,375; 5,5]
	0,02	0,1	0,27	0,47	0,77	0,88	0,98

 

Значения эмпирической функции распределения равны ,

Если x принадлежит j-му промежутку; , если x≤ ;

и ,если х > . Получим

Рис. 2

Вычисление числовых характеристик выборки.

Для вычисления числовых характеристик выборки строим новый вариационный ряд . Обозначим - середину j-ого промежутка.

Для группированного ряда выборочное среднее и выборочная дисперсия вычисляются по формулам (таблица 4).

Таблица 4

Интервал
[-3,5; -2,375]		-2,9375	-5,875	17,2578
(-2.375; -1,25]		-1,8125	-14,5	26,2812
(-1,25; -0,125]		-0,6875	-11,6875	8,0351
(-0,125; 1]		0,5625	11,25	6,3281
(1; 2,125]		1,5625	46,875	73,2421
(2,125; 3,25]		2,6875	29,5625	79,4492
(3,25; 4,375]		3,8125	38,125	145,3516
(4,375; 5,5]		4,939	9,878	48,7874
Сумма			103.628	404,7329

 

Подставляем величины , приведенные в таблице, получим:

Выборочное среднеквадратичное отклонение :

 

 

Составляем еще одну таблицу.

Таблица 5

Интервал
[-3,5; -2,375]		-2,9375	-3,975	-125,615	499,319
(-2.375; -1,25]		-1,8125	-2.8525	-185,681	529,654
(-1,25; -0,125]		-0,6875	-1,7275	-87,64	151,398
(-0,125; 1]		0,5625	-0,4775	-2,177	1,039
(1; 2,125]		1,5625	0,5225	4,279	2,236
(2,125; 3,25]		2,6875	1,6475	49,189	81,039
(3,25; 4,375]		3,8125	2,7725	213,115	590,862
(4,375; 5,5]		4,939	3,899	118,547	462,214
Сумма			-15,983	2317,761

 

Коэффициенты асимметрии А и эксцесса Е вычисляются по формулам(с использованием таблицы 5):

 

Подставляя величины ,приведенные в таблице 5 ,получим:

 

6. Оценка истинного значения параметра .

Оценку истинного значения α ( математического ожидания) дает доверительный интервал, который для случая большой выборки определяется формулой

где значение находится из условия 2

Для доверительной вероятности (надежности ) по таблице значений функции Лапласа ,находим число 0,4750 наиболее близкое к /2. Это число расположено в строке именованной «1,9» ,и столбце с названием «6». Искомое значение , так как 2 . При и точности оценки с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания (0,7; 1,38).

 

7. Оценка истинного значения параметра .

Оценку истинного значения σ дает доверительный интервал для среднеквадратического по формулу

 

По заданной доверительной вероятности по таблице значений Лапласа находим 2 , следовательно . Тогда с надежностью 0,85 доверительный интеграл для среднеквадратического отклонения σ имеет вид (1,56; 1,93).

 

8.Приверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона.

Значения коэффициентов асимметрии A и Е, близкие к нулю, а также вид гистограммы позволяют выдвинуть гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону .

Проверим эту гипотезу с помощью критерия Пирсона.

a) по выборке вычислены точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения

α = 1,04

σ = 1,72

 

b) Найдены теоретические вероятности попадания вариантов в каждый промежуток по формуле

 

и вычислим

Вычисления удобно проводить по таблице 6. Предварительно следует изменить таблицу 1,объединив первый интервал со вторым и седьмой интервал с восьмым ,так как в критерии Пирсона предполагается ,что количество вариантов в каждом интервале не меньше пяти. Крайние интервалы расширяются влево и вправо до бесконечности ,причем

c) Просуммировав числа последней строки , получаем

d) количество интервалов r вариационного ряда ,приведенного в таблице 6, равно 6. Число степенней свободы

е) Выбран уровень значимости

В таблице приложения 3 параметрам и соответствует значение

f) при выбранной надежности 0,85 .

Следовательно ,гипотеза отвергается, как маловероятная. Предположение о том, что исследуемая физическая величина распределена по нормальному закону с параметрами

не противоречит результатам измерений.

Значит, можно считать ,что функция плотности вероятности изучаемой физической величины имеет вид

График f(x) изображен на рисунке 3 сплошной линией. Отдельные точки на рисунке соответствуют последней строке таблицы 2, по которой строилась гистограмма. Очевидно, что теоретическое распределение вполне согласуется с результатами выборки.

Рис. 3