Непрерывное начисление процентов
Основные понятия и обозначения Стоимостные: present value (PV) - стоимость (капитал, денежная сумма) на начало операции, современная, настоящая стоимость ; future value – (FV)- стоимость (капитал, денежная сумма) на конец операции будущая, наращенная стоимость; Доход - изменение капитала за время финансовой операции, (FV - PV);
Показатели времени операции Время финансовой операции (период сделки) - время от начала до окончания сделки n - если срок финансовой операции больше года (измеряется в годах); t – если срок финансовой операции меньше года (измеряется в днях); Y– продолжительность года в днях (месяцах, кварталах).
Показатели эффективности Процентная ставка (декурсивная, обычная) (FV – PV) = I – процент Учетная ставка (антисипативная, дисконтная) (FV – PV) = D – дисконт Задачи финансовой математики .Задача наращения (определения будущей стоимости – FV); .Задача дисконтирования (определения современной стоимости – PV); Задача определения ставки доходности; Задача определения срока финансовой операции; Задача наращения · Дано: PV; i (d); n (t) · Определить: FV = ? Задача дисконтирования · Известно: FV; i (d); n (t) · Определить: PV = ? Задача определения величины ставки N Дано: PV; FV; n (t) n Определить: i=?; (d=?) Задача определения срока операции N Дано: PV; FV; i (d) n Определить: n (t) = ? Задача наращения по простой процентной ставке (i) N Дано: PV; i; n. n Определить: FV = ? PV×i = I – простые, декурсивные, обычные проценты (процентные деньги) за год Срок 1 год: FV = PV+PV i= PV(1+i) Срок 2 года: FV = PV+PV i +PV i= PV(1+2i) Срок n - лет: FV = PV+PV i +¼+ PV i = PV(1 + n i) Формула простых процентов Срок больше года FV = PV(1+n×i) (1+n×i) – множитель наращения Срок меньше года (PVЧ i /Y)Ч t = I – проценты за время операции Будущая стоимость: Задача наращения по простой учетной ставке (d) Дано: PV; d; n Определить: FV = ? FV = PV + FV d + ……. + FV d= PV + FV n d Cрок меньше года Пример 1. Дано: PV = 10млн. руб.; n = 2 года; Определить: FV= ? Решение: а) FV= 10 (1 + 2 х 0,1) = 12млн.р. б) FV = 10 / (1 – 2 х 0,1) = 12,5млн.р. Пример 2. Дано: PV = 10млн. руб.; n = 10 лет; а) i = 10% , б) d = 10% Определить: FV= ? Решение: а) FV= 10 (1 + 10 х 0,1) = 20млн.р б) FV = 10/(1 – 10 х 0,1) = Задача дисконтирования по простой процентной ставке (Математическое дисконтирование) Дано: FV; i ; n (t) Определить: PV = ? Пример 3. Дано: FV = 1,5млн. руб.; t =1 месяц; i = 12% ; Определить: PV= ? Решение: а) PV= 1,5: [1 +(1/12) х 0,12] = 1.485148млн.р. Задача дисконтирования по простой учетной ставке (Банковский учет) Известно: FV; d; n (t) Определить: PV = ? Срок больше года PV = FV(1-nd) (1-nd) – дисконтный множитель Срок меньше года PV = FV(1-t/Y d) N Пример4 n Дано: FV = 5млн.р.; d = 18%; n = 0,5года n Определить: PV = ? D = ? n Решение: n PV = 5(1 - 0,5 х 0,18) = 4,55млн.р. n D = 5 – 4,55 = 0,45млн.р. Задача определения ставки Дано: PV; FV; n (t)Определить: i (d) = ?; Процентная ставка Учетная ставка Пример 5 PV = 5млн.р.; FV = 7млн.р.; n=0,5 года; Определить эффективность вложения, если iбанк = 70% Определение срока операции Дано: PV; FV; i (d)Определить: n (t) = ? Срок больше года Срок меньше года (t) Пример 6. PV = 10млн.р.; FV=15 млн.р.; а)i = 20%; б)i = 200%; Определить: n (t)= ? Пример 6 (продолжение). PV = 10млн.р. а)i = 20%; Определить: срок удвоения стоимости Проблемы практики расчетов n 1. Определение срока для операций меньше года (t/Y): N Точные проценты – t и Y исчисляются точно по календарным дням n Банковские проценты – t - точно по календарным дням; Y – условно (360 дней в году); N Коммерческие проценты - t и Y принимаются условно – 30 дней в месяце и 360 дней в году. Пример 7. Дано: PV = 10т. руб.; срок операции 1год. Год не високосный; i = 10% Определить: FV= ? (тремя способами) Решение: А) точные проценты FV= 10 (1 + (365/365) х 0,1) = 11т.р. б) банковские проценты FV= 10 (1 + (360/360) х 0,1) = 11т.р Процентные начисления с использованием постоянного делителя (дивизора) Пример 8 Постоянные суммы и сроки их хранения: N 200т.р. – 25.05. – 07.07. (43 дня) N 250т.р. – 07.07.-10.11.(126 дней) N 170т.р. – 10.11. – 01.12. (21 день) n Процентные числа: 200х43=8600 n 250х126=31500 n 170х21= 3570 n Дивизор:360/0,08=4500 n I = (840+31500+3570) / 4500 = 9,705т.р. n FV = 170 + 9,705 = 179,705т.р. Понятие эквивалентности Эквивалентность простых процентных и учетных ставок Простая процентная ставка эквивалентная простой учетной ставке Простая учетная ставка эквивалентная простой процентной ставке Пример 9. Дано: t = 3 месяца; (коммерческие проценты) а) d = 100%; б) i = 120% Сравнить эффективность операций. Решение. 1,0 i = х 100 = 133,3% 1 – (3/12) х 1,0 =133,3% > 120% Эквивалентность денежных сумм Пример 10. Дано: PV1=100т.р.; n1 = 0 FV2=200т.р.; n2 = 1 i = 10% Что предпочтительнее ? Сложные проценты Задача наращения по сложной Процентной ставке Период начисления один год Срок больше года 1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i) 2 года - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+i) = РV(1+i)2 3 года - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)(1+i)(1+i)=РV(1+i) і n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i)n Формула сложных процентов N-целое число FV = PV(1+i)n (1+i)n -множитель наращения Формула сложных процентов 1)n< 1FV = PV(1+i)n (1 +ni)>(1+i)n 2)n = а + в; где а – целое число лет; В – дробное число лет FV = PV(1+i)а(1+вi) Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов Пример 1. Дано: PV = 10т.р. i=10% а) n = 2; n =1/2; n = 2,5; Определить: FV = ?; Решение. а) FV = 10(1 + 0,1) 2 = 12,1т.р б) FV = 10(1 + 0,1) 1/2 = 10,488т.р FV = 10(1 + ½ 0,1) = 10,5т.р в) FV = 10(1 + 0,1) 2 (1 + ½ 0,1) = 12,705т.р FV = 10(1 + 0,1) 2,5 = 12,690т.р
Период начисления меньше года (m-кратное начисление процентов) Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год Продолжительность операции один год: на конец первого периода начисления – FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m) Через m-периодов (конец года) FV = PV(1+j/m)m Продолжительность операции n - лет: FV = PV(1+j/m) (m х n) Эффективная процентная ставка (эквивалентная) (1 + iэ) n = (1+j/m)mn (1 + iэ) = (1+j/m)m iэ = (1+j/m)m –1 Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки. Пример 2. Дано: PV = 10т.р. а) i=10% б) J2 = 10%; в) J4 = 10%; г) J12 = 10%; Определить: FV = ?; iэ = ? Решение. а) FV = 10(1+0,1) = 11,0т.р Пример 2. Продолжение б) FV = 10(1+0,1/2) 2 = 11,025т.р. iэ = (1+0,1/2) 2 –1 = 10,25% в) FV = 10(1+0,1/4) 4 = 11,038т.р. iэ = (1+0,1/4) 4 –1 = 10,38% г) FV = 10(1+0,1/12) 12 = 11,047т.р. iэ = (1+0,1/12) 12 –1 = 10,47% Непрерывное начисление процентов Множитель наращения: Где: д-сила роста (номинальная ставка) ℮ - основание натуральных логарифмов (2,718…) Будущая стоимость: Пример 3. Дано: PV = 10т.р. ; δ = 10% Определить: FV = ?; iэ = ? Решение. FV = 10 ℮ 0,1 = 10 х (2, 718…)0,1 =11,052т.р. iэ = 2, 718…0,1 –1 = 0,1052 (10,52%)
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (588)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |