Руководство системного программиста

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

По предмету: «Технология разработки программных продуктов»

 

На тему: «Численное решение алгебраических уравнений методом касательных»

 

 

Автор:

Студент 4 курса, гр.ПМ-4-1 (10) Н.К. Гараев

 

Проверил: С.Г. Смирнов

 

 

Миасс

Содержание

Аннотация   Введение   1. Общая часть 1.1 Постановка задачи 1.2 Описание математической модели 1.3 Обоснование и описание метода реализации   2. Специальная часть 2.1 Описание алгоритма 2.2 Описание программы 2.3 Руководство системного программиста 2.4 Руководство программиста 2.5 Руководство оператора 2.6 Интерпретация и анализ результатов   Заключение   Список используемой литературы   Приложения   1. Листинг программы 2. Результаты решения программы 3. Контрольный пример

Аннотация

В данной курсовой работе рассмотрен принцип численное решение алгебраических уравнений, комбинированным методом хорд и касательных, а также в среде Delphi 7 была разработана программа, реализующая алгоритм решение уравнения комбинирование методом хорда и касательных. В пояснительной записке приводится описание как самого метода решения, выдача ответа пользователю, так и самой программы.

 

Введение

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Общая часть

Постановка задачи

Написать программу выполняющую численное решение алгебраических уравнений, комбинированным методом хорд и касательных. Результат работы программы должен выводиться на экран.

 

В программе реализовать следующее меню:

1) Ввести данные с клавиатуры.

2) Осуществить проверку на введённые данные в уравнение.

3) Вывести ответ на экран.

4) Выход.

Описание математической модели

 

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале a; b существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x) ¹ 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:

x = x – (f (x) / f ’(x))

 

Решая его методом итераций можем записать :

xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n))

 

Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

 

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

 

x = b – (f (b) /f ‘(b))

 

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

 

x1 = b – (f (b) – f ’ (b))

 

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :

x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))

 

Вообще :

xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k))

 

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 | £ | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .

 

На практике проще пользоваться другим правилом :

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| £ e влечет выполнение неравенства |c-x k-1| £ e .

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1| £ e .

 

 

Обоснование и описание метода реализации

 

 

В курсовом проекте реализована программа решение уравнений в соответствии с заданием к курсовому проекту.

При решении поставленной задачи оптимально использовать язык Delphi, который является языком высокого уровня и позволяет быстро и эффективно создавать приложения, обладающие удобным графическим пользовательским интерфейсом, предоставляет наиболее широкие возможности для программирования приложений ОС Windows.

Специальная часть

Описание алгоритма

 

 

2.2 Описание программы

 

 

При запуске программа появляется форма выбора метода решение уравнения. Уравнение заноситься вручную, если какое-то значение лишнее просто поставьте ноль перед ним, так же вручную заноситься интервал и точность. Если забыли вести значение вылезет предупреждение. Так же существует кнопка очистить, очищает веденые значение и таблицу.

Руководство системного программиста

 

Для работы программы необходим файл Project.exe. Вывод результата будет производиться непосредственно в самой программе.

 

Минимальные системные требования для работы данной программы:

1. Процессор с частотой 800 Мгц;

2. Оперативная память – 64 мб;

3. 640 кб свободного места на жестком диске;

4. Операционная система Windows.