Решения задач средствами пакета Mathcad

Тема 1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Решение задачи на практических занятиях

Задание.Выбрать нелинейное уравнение из табл. и затем:

· отделить корень уравнения.

· проверить выполнение условий сходимости (в методе итераций, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости);

· выбрать начальное приближение

·

1. Отделение корня уравнения.

 

 

2. Уточнение корня уравнения

 

Результаты расчета для трех итераций (метод половинного деления).

 

Результаты расчета для трех итераций (метод Ньютона).

 

«Ручной расчет» трех итераций

 

Представим вычисления в виде следующей табл. 1.2-2b.

 

 

Домашняя работа

Результаты расчета для трех итераций (метод итераций).

Для сходимости метода необходимо представить уравнение f(x)=0 в виде x=φ(x). Для сходимости метода необходимо, чтобы первая производная от функции φ(x) была по модулю <1.

 

Приведем уравнение f(x)=0к виду x = и проведем исследование.

 

 

Выберем начальное значение (в методе итерацийx0– произвольное значение из отрезка [a;b]), например, x0=0, и с использованием итерационной функции выполним три итерации.

 

2. «Ручной расчет» трех итераций

 

 

Тема 2. Технология вычисления интегралов в среде

Математических пакетов

Задание: вычислить интеграл заданными методами.

В домашней работе вычислить интеграл из своего индивидуального задания третьим методом (например, если в лабораторной работе использовались методы средних прямоугольников и трапеций, то использовать метод Симпсона и т.д.)

 

Решение задачи на практических занятиях

 

· определенный интеграл

· шаг интегрирования h=1.4.

 

Вычисление определенного интеграла

 

Получение таблицы значений подынтегральной функции

 

Интегрирование с использованием численных методов

Метод трапеций

 

Метод Симпсона

 

Домашняя работа

Метод средних прямоугольников

 

Тема 3. Технология решения задач одномерной

Оптимизации средствами математических

Пакетов

Задание.

· построить график функции f(x), выбрать отрезок, содержащий минимум, и проверить на нем условие унимодальности функции;

· Провести «ручной расчет» 3-х итераций по поиску минимума функции f(x) на отрезке [a;b], в соответствии с заданным методом.

В домашней работе вычислить минимум вторым (не использующимся в лабораторной работе) методом.

 

Решение задачи на практических занятиях

F(x)=sin(2*x)-x

Решения задач средствами пакета Mathcad

Отделение отрезка унимодальности Первая производная не убывает, а вторая - положительна, следовательно, на отрезке [0;1] существует единственный минимум     Вычисление координат точки минимума на отрезке [1;2]   Построим график функции f2(x) на заданном отрезке

 

F(x)=sin(2*x)-x

 

Метод дихотомии

F(x)=sin(2*x)-x

1 итерация

после 1 итерации

2 итерация

>

3 итерация

Таблица

Домашняя работа

Три итерации методом золотого сечения

Метод золотого сечения

1 итерация

2 итерация

3 итерация