Уточнение корней методом хорд

Цель работы.

Целью заключается освоение методики решения нелинейных уравнений на компьютере в программе Excel.

Решение нелинейного уравнения

Найти корень нелинейного уравнения f₁(x)=f₂(x) на заданном отрезке [a,b] средствами Excel тремя возможными способами:

1. методом касательных, либо методом простой итерации с использованием циклических ссылок;

2. с помощью средства Подбор параметра

3. используя возможности Поиска решения при ограничениях корень>a и корень <b.

2x+x⁵-1=0, x (0;1]

Использование программы Excel для решения нелинейных уравнений.

Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, в общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x).

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (2).

Рис.2. Метод хорд

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится «хорда», соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс

принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z] или [z,b] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Z_n-Z_n-1|<.

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

,

где X^* - корень уравнения, Z_n и Z_n+1 – очередные приближения, m и M – наименьшее и наибольшее значения f(x) на интервале [a,b].

Алгоритм метода хорд