Расчет толстостенной трубы
При нагружении трубы внутренним или внешним давлениями пластические деформации появляются в точках внутренней поверхности и поэтому пластической является кольцевая область радиуса rt, примыкающая к отверстию. В упругой области радиальные σr и окружные σt напряжения определяются по формулам: , которые удобно записывать в виде: (1) где τt – предел текучести при сдвиге. По условию задачи (2) Здесь ε0 - объемная деформация. На основании обобщенного закона Гука с учетом (2) получаем зависимость между напряжениями: (3) которая справедлива и за пределами упругости. Это можно показать, используя соотношения между напряжениями и деформациями за пределами упругости. Определим напряжения в пластической области. Уравнение равновесия элемента трубы имеет вид . (4) Разность напряжений во втором слагаемом пропорциональна интенсивности напряжений, которая в данной задаче равна Подставляя в это соотношение выражение σz и учитывая, что интенсивность напряжений – величина положительная, получим σi=√3*|σt-σr|/2. Так как разность σt-σr может иметь различный знак, то последнее удобно представить в виде (5) где χ=±1, причем знак определяется условиями нагружения. Подставив в уравнение равновесия (4) разность напряжений согласно выражению (5), получим . (6) Чтобы проинтегрировать уравнение (6), необходимо иметь зависимость интенсивности напряжений от радиуса. Для этого установим сначала зависимость интенсивности деформаций (7) от радиуса. Деформации и радиальное перемещение связаны соотношениями: , (8) Из условия несжимаемости и равенства нулю осевой деформации (2) следует дифференциальное уравнение для радиального перемещения Интеграл имеет вид . (9) Из соотношений (8) и (9) получаем выражения для деформаций: , (10) а из выражения (7): (11) где sgn C – знак постоянной С. Используя соотношение между деформациями и напряжениями и равенства (2) и (3), получаем Подставив σi, εt и εi по формулам (5),(10) и (11) устанавливаем, что знак χ совпадает со знаком постоянной С, т.е. χ=1sgnC. Введем для удобства новую постоянную С1 (12) Тогда зависимость интенсивности деформаций от радиуса принимает вид (13) Подставив это выражение в уравнение закона упрочнения, устанавливаем зависимость интенсивности напряжений от радиуса (14) что позволяет после интегрирования уравнения (6) получить выражения для радиальных напряжений (15) Из соотношений (5), (14) и (15) устанавливаем формулу для окружных напряжений (16) Постоянные А, В, С1, С2и радиус rT определяются из граничных условий: при при при при r = rT при где индексами e и p отмечены напряжения соответственно в упругой и пластической областях. Из четвертого граничного условия: (17) Вместо условия непрерывности окружных напряжений удобнее использовать условие равенства эквивалентного напряжения пределу текучести на границе (18) В силу равенства (5) и второго граничного условия окружные напряжения при r=rT остаются непрерывными. Из равенства (18) получаем Из пятого граничного условия: а из первого – постоянную С2 Подставляя найденные значения постоянных A, B, C1, C2 во второе граничное условие, получаем уравнение, связывающее радиус rT и давление p1 и p2: (19) Отсюда устанавливаем зависимость знака χ от внешней нагрузки. Выражение, стоящее в правой части, положительно, так как λ≤1, r2>r1 и r1≤rT≤r2. Знак определяется знаком разности давлений, т.е. (20) Подставив в выражения (15) и (16) значения постоянны С1 и С2 и используя условие (3), получим формулы для напряжений в пластической области: (21) Формулы для напряжений в упругой области выводим, подставив значения постоянных А и В в выражения (1) и учитывая равенство (3): (22) Найдем осевую силу N, которая связана с осевыми напряжениями σz соотношением Подставим в него выражения напряжений σz согласно формулам (21) и (22). Получаем Таким образом, для того чтобы осевая деформация была равна нулю, к торцу толстостенной трубы должна быть приложена осевая сила, равная равнодействующей сил внешнего и внутреннего давлений на днище. Определим радиальное перемещение. Из соотношения (9), учитывая равенство (12) и (17), имеем Это выражение справедливо для упругой и пластической областей. Посчитаем внутреннее давление. Поскольку p1>p2, то на основании (20) устанавливаем, что χ=+1. Из формулы (19) находим p1=1,46σT=1170 МПа.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (812)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |