ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

ИМЕНИ Н.П.ОГАРЕВА

Факультет электронной техники

Кафедра сетей связи и систем коммутации

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

по курсу «Цифровая обработка сигналов»

Вариант 45

Студент: Парамонов Дмитрий Николаевич

1. Тема: «Синтез цифрового рекурсивного фильтра Чебышева верхних частот четвертого порядка по аналоговому прототипу»

2. Срок представления работы к защите – 24.05.2012 г.

3. Задание на курсовую работу: Синтезировать цифровой рекурсивный фильтра верхних частот (ФВЧ) Чебышева 4-го порядка по аналоговому прототипу.

4. Необходимо:

4.1. Получить аналитическое выражение передаточной функции аналогового фильтра прототипа, используя справочные данные.

4.2. Применив билинейное преобразование, получить аналитическое выражение передаточной функции цифрового фильтра.

4.3. По передаточной функции цифрового фильтра построить структурную схему его реализации двумя способами – прямым и каноническим.

4.4. Определить реализационные характеристики при данных способах реализации цифрового фильтра.

4.5. Средствами MATLAB провести проверку коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра, полученных после выполнения пунктов задания 4.1 и 4.2.

4.6. Построить АЧХ и ФЧХ синтезированного цифрового фильтра.

4.7. Построить импульсную характеристику цифрового фильтра для первых 50 отсчетов.

5. Исходные данные для расчета:

f_д= 1000 Гц – частота дискретизации;

f_с= 100 Гц – частота среза;

α= 0,5 дБ – неравномерность АЧХ в полосе пропускания.

Руководитель работы:_________________

Задание приняла к исполнению:________

СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………………4 1. Расчет аналогового фильтра-прототипа………………………...…..5 2. Расчет цифрового фильтра………………………………………......7 3. Построение структурных схем фильтра………………...........…….9 4. Реализационные характеристики……………………...........……....11 5. Синтез фильтра в системе программирования MATLAB...............12 6. Частотные и импульсная характеристики фильтра…...........….…..14 Заключение…………………………………………………..……….16 Список использованных источников………………….……….…....17
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					3
ВВЕДЕНИЕ     Фильтр в обобщенном смысле слова представляет собой устройство (или систему), которое преобразует заданным образом проходящий через него входной сигнал. Электрические фильтры можно классифицировать несколькими способами. Для обработки непрерывных во времени сигналов используют аналоговые фильтры, а дискретные сигналы обрабатываются цифровыми фильтрами. Цифровые фильтры в свою очередь можно разделить на рекурсивные (с бесконечной импульсной характеристикой) и нерекурсивные (с конечной импульсной характеристикой). Цифровые фильтры являются неотъемлемой составляющей устройств цифровой обработки сигналов. В настоящее время цифровые устройства и сигналы все больше используются в нашей жизни, поэтому их изучение и разработка заслуживают большого внимания.
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					4
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ РАСЧЕТ АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА-ПРОТОТИПА Для нахождения передаточной функции аналогового ФВЧ Чебышева 4 порядка, воспользуемся передаточной функцией аналогового нормированного ФНЧ Чебышева 4 порядка, которая в общем случае имеет вид [1]: , (1) где ; К0 – нормирующий множитель, который можно найти из условия: ; (2) Коэффициенты В1к и В0к, находятся следующим образом: (3) (4) Для нашего случая по формуле (3) находим полюсы передаточной функции (1): По формулам (3) находим В0к и В1к:
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					5

По формуле (2) находим нормирующий множитель: . В итоге получим передаточную функцию аналогового нормированного ФНЧ Чебышева 4 порядка, которая имеет вид: (5) Для нахождения передаточной функции ФВЧ, необходимо в выражении (5) величину s заменить на выражение [2]. Тем самым мы произведем денормирование частоты. В результате получим: (6) где
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					6

РАСЧЕТ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА Для получения передаточной функции воспользуемся билинейным преобразованием. Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра приводит к передаточной функции дискретного фильтра [2]: (7) где (8) В результате вычислений получаем следующие значения: Подставляем полученные коэффициенты в выражение (7):
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					7
В результате передаточная функция цифрового фильтра будет иметь вид: (9) Введем обозначения и занесем коэффициенты в таблицу (табл. 1): Таблица 1 a1 = 0,386 b1 = -2,349 a2 = -1,543 b2 = 2,213 a3 = 2,314 b3 = -1,014 a4 = -1,543 b4 = 0,197 a5 = 0,386
Изм.	Лист	№ докум	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					8
ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ФИЛЬТРА 1) Прямая форма построения схемы реализации ЦФ [3]. Для построения этим способом представим передаточную функцию в виде: Для удобства воспользуемся обозначениями из табл. 1: a1 = 0,386; a2 = -1,543; a3 = 2,314; a4 = -1,543; a5 = 0,386; b1 = -2,349; b2 = 2,213; b3 = -1,014; b4 = 0,197. Тогда структурная схема ЦФ будет иметь вид: Σ z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 Рис.1. Прямая форма построения ЦФ
Изм	Лист	№ докум	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					9
Для построения структурной схемы каноническим методом введем в передаточную функцию вспомогательную функцию D(z): откуда: . При использовании канонического способа построения структурной схемы в ее составе всегда будет два сумматора, причем выходной сигнал первого из них всегда будет равен функции D(z). Структурная схема приведена на рис.2 X .       Σ                                     z-1     Y   Σ     Рис.2. Каноническая форма построения ЦФ
Изм	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					10
РЕАЛИЗАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ   Определим реализационные характеристики ЦФ для двух способов построения. В их число входят: 1. L0 – число ячеек оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра. Равно числу элементов задержки. 2. Ln – число ячеек постоянной памяти. Оно определяется по числу различных постоянных множителей в схеме. 3. Vy – число операций умножения, которое должно быть выполнено за время Т для получения одного отсчета выходного сигнала. Определяется по числу множительных устройств. 4. Vs – число операций сложения. Определяется по суммарному числу входов сумматоров за вычетом числа сумматоров. Согласно структурным схемам получим: для прямого способа построения (табл. 2)   Таблица 2 L0 Ln Vy Vs   для канонического способа построения (табл. 3)   Таблица 3 L0 Ln Vy Vs
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					11
СИНТЕЗ ФИЛЬТРА В СИСТЕМЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ MATLAB В системе MATLAB имеется специальная функция, рассчитывающая коэффициенты дискретного фильтра Чебышева. Она имеет вид:   [b,a] = cheby1(n,Rp,Wn,’high’) Производит синтез дискретного фильтра Чебышева первого рода n-го порядка, имеющего АЧХ фильтра верхних частот, нормированную частоту среза Wn и величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания, равную Rp дБ. Функция возвращает описание фильтра в виде векторов-строк b и a, имеющих длину n+1 и содержащих коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи в порядке убывания степеней переменной z: Программа синтезирования ЦФ имеет вид: clear, clc,close all; Fd=1000; fc=100; n=4 Rp=0.5; Wn=2*(fc/Fd) [b,a]=cheby1(n, Rp, Wn, 'high'); После расчета получаем результаты (табл. 4): Таблица 4 a1 = 0,378 b1 = -2,174 a2 = -1,514 b2 = 2,092 a3 = 2,270 b3 = -0,938 a4 = -1,514 b4 = 0,209 a5 = 0,378
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					12
Вычислим относительную погрешность найденных ранее результатов (см. табл. 1) по формуле: где X1 – коэффициенты найденные по формулам (8); X2 – коэффициенты рассчитанные в MATLAB. Результаты занесем в таблицу (табл. 5)   Таблица 5 Коэффициенты   полученные по формулам (8) рассчитанные в MATLAB Относительная погрешность γ, % a1   0,386 0,378 2,1 a2   -1,543 -1,514 1,9 a3   2,314 2,270 1,9 a4   -1,543 -1,514 1,9 a5   0,386 0,378 2,1 b1   -2,349 -2,174 8,0 b2   2,213 2,092 5,8 b3   -1,014 -0,938 8,0 b4   0,197 0,209 5,5   В итоге, коэффициенты, рассчитанные по формулам (8) совпадают с полученными в MATLAB с погрешностью не превышающей 8%.
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					13
ЧАСТОТНЫЕ И ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРА Для построения АЧХ и ФЧХ воспользуемся написанной ранее программой, добавив следующие строки: figure(1) freqz(b,a) ylim([-10,1])   Графики изображены на рис. 3 и рис. 4.   Рис.3. АЧХ цифрового фильтра Рис.4. ФЧХ цифрового фильтра   Для построения импульсной характеристики добавим следующие строки:   figure(2) impz(b,a,50,fc), grid on
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					14
График импульсной характеристики ЦФ изображен на рис. 5. Рис.5. Импульсная характеристика цифрового фильтра
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящей работе было проведено синтезирование цифрового фильтра Чебышева высоких частот 4-ого порядка по аналоговому фильтру-прототипу. Полученный фильтр удовлетворяет заданным требованиям, таким как частота среза, частота дискретизации и неравномерность в полосе пропускания. В результате работы были построены структурные схемы фильтра двумя способами: прямым и каноническим, определены реализационные характеристики. Также был проведен синтез данного фильтра в системе MATLAB, построены графики амплитудно-частотной, фазочастотной и импульсной характеристик.
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-02069964-210406-45-12	Лист
					16
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ Гадзиковский В. И. Методы проектирования цифровых фильтров / М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 416 с.: ил. Гадзиковский В. И. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. / Екатеринбург, 2006. – 53 с.
Изм.	Лист.	№ докум.	Подпись	Дата	КР-2069964-210406-45-12	Лист
					17