Фильтр – восстановитель

Источник сообщений

 

Источник сообщений выдает сообщение а(t), представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале а _min - a _max распределены равномерно, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до F_c.

Требуется:

1. Записать аналитические выражения и построить график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения а(t).

2. Найти мат. ожидание и дисперсию сообщения а(t)

3. Построить график случайного процесса и на графике обозначить max значение сигнала, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение.

 

1.1

k₁a+b₁, aÎ[a_min, a_min+ 2/8(a_max+a_min)]

P(a)= p_a , aÎ[ a_min+ 2/8(a_max+a_min), a_max-2/8(a_max+a_min)]

k₂a+b₂, aÎ[ a_max-2/8(a_max+a_min), a_max]

 

 

 

0.033a+0.2112, aÎ[-6.4;-3.2)]

Р(а)= 0.1042 , aÎ[ -3.2;3.2]

-0.033a+0.2112, aÎ[3.2;6.4]

 

1.2

σ_а= 2.936В

1.3

 

Дискретизатор

 

Передача непрерывного процесса осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение а(t) дискретизируется по времени и квантуется по уровню с равномерным шагом. Шаг квантования по уровню Dа= 0,1В.

Требуется:

1. Определить шаг дискретизации по времени (Dt).

2. Определить число уровней квантования (L).

3. Рассчитать среднюю мощность шума квантования.

4. Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения с объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность (Н, Н^’), отсчеты, взятые через интервал Dt считать независимыми.

 

2.1

 

2.2

 

 

2.3

 

 

2.4

бит/символ,

,

 

H=-(2*(-1.301)+(-4.322))=6.924 бит/символ.

бит/с

 

Кодер

 

Кодирование осуществляется в два этапа.

Первый этап:

Производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения k– разрядным двоичным кодом.

Второй этап:

К полученной k–разрядной двоичной кодовой комбинации добавляются проверочные символы, формируемые в соответствии с правилами кодирования по коду Хэмминга.

В результате этих преобразований на выходе кодера образуется синхронная двоичная случайная последовательность b(t) (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты, причем положительные импульсы в ней соответствуют символу «0», а отрицательные – символу «1» кодовой комбинации.

Требуется:

1. Определить число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения.

2. Определить избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

3. Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на первом этапе j-му уровню ставится в соответствии двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа j в двоичной системе счисления. В полученной кодовой комбинации указать информационные и проверочные разряды.

4. Определить число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени V_n и длительность двоичного символа T.

 

 

3.1

 

3.2

 

3.3 j=45. Его двоичная комбинация :

 

 

1*

Позиция бита
Значение символа			*				*		*	*

 

0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0	r

 

 

 

2* общая длина кодовой последовательности с учетом проверочных разрядов кода Хэмминга

Позиция бита
Значение символа

 

Проверка правильности (выписываем номера ненулевых позиций)

В результате получаем кодовую комбинацию: 1011100100;

 

3.4 V_n = n/∆t = 58.82·10⁴ бит/с;

3.5 T = 1/V_n = 0.017·10^-4 с.

 

 

Модулятор

 

В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов b(t) осуществляет модуляцию гармонического переносчика

U_m = U_mcos(2πft), (U_m=1В, f = 100V_n).

Амплитудная модуляция (АМ).

При АМ «0» соответствует сигнал U₁(t) = 0,

символу «1» - U₂(t) = U_m cos(2πft).

 

1. Запишем аналитическое выражение модулированного сигнала U(t)=φ(b(t)).

f₀=100 V_n=100 58.82 10⁴=58.82 10⁶ Гц.

U₁(t) = 0

U₂(t) = U_m cos(2πf₀t)= U_m cos(369.39 10⁶ t);

 

2. Изобразим временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передачи j-го уровня сообщения a(t).

 

3. Приведём выражение и начертим график корреляционной функции модулирующего сигнала В(τ).

 

 

График корреляционной функции.

 

 

4. Приведём выражение и начертим график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_В(f).

 

 

 

График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_В(f).

 

 

5. Определим ширину энергетического спектра модулирующего сигнала ∆F_B из условия ∆F_B=αV_k (где α выбирается в пределах от 1 до 3). Отложим полученное значение ∆F_B на графике G_В(f).

Пусть α=1

 

5. Приведём выражение и построим график энергетического спектра G_u(f) модулированного сигнала.

 

График энергетического спектра G_u(f) модулированного сигнала.

 

7. Определить ширину энергетического спектра ∆F_u модулированного сигнала и отложить значение ∆F_u на графике G_u(f).

Канал связи

 

Передача сигнала U(t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n(t) с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

z(t) = U(t) + n(t)

Требуется:

 

1. Определить мощность шума в полосе частот F_k = ∆F_u ;

2. Найти отношение сигнал – шум Р_с /Р_ш;

3. Найти пропускную способность канала С;

4. Определить эффективность использования пропускной способности канала К_с, определив ее как отношение производительности источника Н^’ к пропускной способности канала С.

5.1

5.2

0.7485

5.3 С = ∆F_U·log₂(1+P_c/P_Ш) = 9.483*10⁵ бит/с

5.4. К_с = Н^’/С = 0.43

Демодулятор

 

В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная или некогерентная (в зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала z(t) = U(t) + n(t)

Требуется:

1. Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.

2. Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

3. Вычислить вероятность ошибки ρ оптимального демодулятора.

4. Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки ρ.

6.1

, – энергии ожидаемых сигналов U1(t) и U2(t) соответственно. Итак, алгоритм приема, который совершает оптимальный приемник над входным колебанием, определяется выражением:

. (2)

При выполнении неравенства регистрируется символ «1», в противном случае «0».

АМ:

U₁(t) = 0

U₂(t) = U_m cos(2πf₀t)= U_m cos(3.7 10⁶ t); U_m=1B

 

 

6.2

 

 

 

6.3

P = 1/2 (1-Ф(х));

Ф(х) – функция Крампа

 

 

По таблице, в соответствии с найденным значением x=0.8657, получил Ф(x)=0,193 и подставил найденное значение в формулу вероятности ошибки оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным ”белым” шумом при передаче двоичных сообщений:

6.4. Определим, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки ρ.

 

Сравнивается АМ с другими видами модуляции.

 

Энергетический проигрыш по пиковой мощности:

в 2 раза по сравнению с ЧМ, в 4 раза по сравнению с ФМ.

 

Энергетический проигрыш по средней мощности:

в 1 раз по сравнению с ЧМ, в 2 раза по сравнению с ФМ.

 

 

Декодер

 

В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k – разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1. Оценить обнаруживающую способность q₀ кода Хэмминга.

2. Записать алгоритм обнаружения ошибок.

3. Определить вероятность необнаружения ошибки.

 

7.1 d_min = 3; q = d_min–1 = 2

7.2 Кодовая последовательность:1 0 1 1 1 0 0 1 0 0.

i=7 кодовая последовательность с ошибкой: 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0.

Выписываем номера ненулевых позиций

 

0111₂=7₁₀

 

 

7.3

n – число разрядов, n = 10

р – вероятность ошибки в одном разряде, p = 0,193

 

Фильтр – восстановитель

 

Фильтр–восстановитель – фильтр нижних частот с частотой среза F_c.

Требуется:

1. Указать величину F_c.

2. Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра – восстановителя.

3. Найти импульсную характеристику g(t) идеального фильтра – восстановителя и начертить ее график.

 

 

8.1 F_c =1/2Dt=30к Гц

 

8.2 Идеальная АЧХ фильтра – восстановителя имеет вид:

 

Идеальная ФЧХ:

 

 

8.3

 

 

 

 

 

ВЫВОДЫ

 

По пункту ИСТОЧНИК СООБЩЕНИЙ:

· сообщение представляет собой случайный процесс;

· математическое ожидание случайного процесса, значения которого в интервале [-12,8;12,8] распределены равномерно, равно нулю.

По пункту ДИСКРЕТИЗАТОР:

· шаг дискретизации по времени в соответствии с теоремой Котельникова обратно пропорционален верхней частоте спектра первичного сигнала;

· средняя мощность шума квантования при равномерном квантовании прямо пропорциональна квадрату шага квантования;

· производительность источника определяется как энтропия в единицу времени.

По пункту КОДЕР:

· при кодировании по Хэммингу кодовая комбинация содержит вместе с информационными проверочные разряды, обеспечивающие исправление одиночной ошибки, но из-за них код приобретает некоторую избыточность (не более 40%).

По пункту МОДУЛЯТОР:

· наименее помехоустойчивый тип модуляции-АМ

· ширину энергетического спектра модулирующего сигнала зависит прямо пропорционально от производительности кодера;

· ширина энергетического спектра модулированного сигнала зависит прямо пропорционально от величины ∆f (девиации частоты) и от ширины энергетического спектра модулирующего сигнала.

По пункту ЛИНИЯ СВЯЗИ:

· Пропускная способность зависит от ширины энергетического спектра модулированного сигнала и от отношения сигнал-шум.

 

По пункту ДЕМОДУЛЯТОР:

· Структурную схему оптимального когерентного демодулятора для АМ собрать проще, чем для других видов модуляции

 

По пункту ДЕКОДЕР:

· код Хэмминга может обнаружить две ошибки и одну исправить, причем вероятность необнаружения ошибки очень мала.

 

По пункту ФИЛЬТР – ВОССТАНОВИТЕЛЬ:

· в качестве фильтра-восстановителя используется фильтр нижних частот, преобразующий дискретный сигнал, поступающий с декодера, в непрерывный сигнал.

 

 

Вывод.

 

Мы научились рассчитывать основные характеристики системы передачи сообщений, включающий в себя источник сообщений, дискретизатор кодирующее устройство, модулятор, линия связи, демодулятор, декодер и фильтр-восстановитель. Так же уяснили что наименее помехоустойчивый тип модуляции - амплитудный. Структурную схему оптимального когерентного демодулятора для АМ собрать проще, чем для других видов модуляции.