Список обозначений и сокращений

Задание на курсовую работу

Студентка: Марченко В.Д.

Группа: 5402

Тема работы:решение математических задач с использованием математического пакета "MathCAD".

Исходные данные:

1) Даныфункцииf(x) = √3sin(x) + cos(x)иg(x) = cos(2∙x + π/3) – 1

a) Решить уравнение f(x) = g(x).

b) Исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0; (5∙π)/6].

2) Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

3) Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Содержание пояснительной записки:

«Оглавление», «Введение», «Список обозначений и сокращений», «Вывод по курсовой работе», «Список используемой литературы».

Предполагаемый объем пояснительной записки:

Не менее 33 страниц.

Дата выдачи задания: 04.09.2015

 

Дата сдачи курсовой работы:

Дата защиты курсовой работы:

Студентка	Марченко В.Д.
Преподаватель	Пожидаев А.К.

 

 

Аннотация

С помощью математического пакетаMathcad в данной курсовой работе были выполнены:

1) Решение заданного уравнения и исследование функции;

2) Алгоритм нахождения коэффициента кубического сплайна, интерполирующего данные;

3) Метод решения задачи по оптимальному распределению неоднородных ресурсов.

Работа выполнена с использованием элементарных функции Mathcad, таких как solve, root,maximizeи некоторые другие.

Введение

Цель курсовой работы: уметь применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности.

Mathcad — это система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования (САПР), ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Данная программа содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Mathcad позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

 

 

 

Список обозначений и сокращений

x – аргумент

f(x) – функция f(x)

g(x) – функция g(x)

h(x) – функция h(x)

- первая производная функции h(x)

- вторая производная функции h(x)

 

Vx, Vy –вектора данных.

cspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy) – функции, используемые для нахождения коэффициентов сплайна.

interp(Vk,Vx,Vy,x) – функция, возвращающая значение f(х) для заданных векторов Vk, Vx, Vy и заданного значения x.

f1(x), f2(x), f3(x) –линейная интерполяция данных, представленных в векторах Vx и Vy.

f1_pogr, f2_pogr, f3_pogr- погрешности интерполяции функций.

Y –прибыль предприятия.

X –количество изделий j-го наименования, которое может производить предприятие.

X5, X6, X7 -фиктивные изделия, при изготовлении которых используют каждый оставшийся вид ресурса.

 

 

 

Используемые функции:

Solve-решение уравнения (системы уравнений) относительно переменной (переменных).

Root–решение уравнения относительно переменной на промежутке.

Строим графи функции:

 

 

 

Решим уравнение:

 

 

Исследуем функцию h(x):

Упростим вид функции h(x) и её производной:

 

 

Приближённые вычисления корней для определения Промежутков построения графика:

 

 

 

 

Исследуем функцию на четность – нечетность (функция является четной при условии, что h(x) = h(-x), и функция является нечетной, если h(-x) = -h(x)):

 

 

 

Для наглядности пострим графики функций:

 

Вычисляем вторую производную функции h(x):

 

 

 

 

 

Из графика видно, что функция на заданном промежутке имеет только один экстремум.

Находим экстремум функции:

 

Задача № 2

Задание. Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy.

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Дано:

 

 

Оценить погрешность интерполяции в точке x = 2,6. Вычислить значение функции в точке x = 1,6.

Основные понятия:

Интерполяция- способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. По определению интерполяция означает построение функции f(x), аппроксимирующей зависимость y(x), в промежуточных точках (между xi) Поэтому интерполяцию ещё по-другому называют аппроксимацией.

Аппроксимация- метод состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.

Задача интерполяции — найти данные в окрестности узловых точек. Для этого используются подходящие функции, значения которых в узловых точках совпадают с координатами этих точек. Например, при линейной интерполяции зависимости у(х) узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых и считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках. Для повышения точности интерполяции применяют параболы (квадратичная интерполяция) или полиномы более высокой степени (полиномиальная интерполяция). Для обработки данных MathCAD использует различные функции интерполяции и аппроксимации данных.

Использованные функции:

cspline –генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках (кубический сплайн).

pspline –генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках (квадратичный сплайн).

lspline –генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точкаx (линейный сплайн).

interp(Vk,Vx,Vy,x) –возвращает интерполируемое значение y, соответствующее x.

Vk –вектор вторых производных в рассматриваемых точках.

linterp(Vx,Vy,x) – возвращает оценку значения в точке x, вычисленную методом линейной интерполяции на основе значений из векторов x и y;

Vx– вещественный вектор, элементы которого должны соответствовать значениям x.

Vy – вещественный вектор одного размера с Vх, элементы которого соответствуют значениямy.

Задаем значения векторов Vx и Vy:

Находим коэффициенты кубического сплайна при помощи функций cspline(вектор значений коэффициентов кубического сплайна), pspline(вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна), lspline(вектор значений коэффициентов линейного сплайна):

Интерполяция исходных данныхФункция interp(Vk,Vx,Vy,x) возвращает значение f(х) для заданных векторов Vk, Vx, Vy и заданного значения x:

 

Для наглядности проведём линейную интерполяцию векторов и получим ломаную кривую.

 

Построим графики:

 

Сделаем предположение, что множество значений функции является достаточным для описания функции, тогда функция примет вид:

 

Где:

 

 

 

 

Находим значения интерполяций функции в точке, для которой требуется найти погрешность интерполяции:

 

 

 

Вывод:Наименьшую погрешность интерполяции дает функция lspline(Vx, Vy).

Задача № 3

Задание. Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов.

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Таблица 1.21

Используемые ресурсы, аi	Изготавливаемые изделия	Наличие ресурсов, аi
И1	И2	И3	И4
Песок
Щебень
Цемент
Прибыль, Пj

 

1.Зададим начальные условия:

 

 

2.Зададим функцию прибыли:

 

3.Зададим ограничение на количество изделий, т.к. оно не может быть отрицательным:

4.Зададим ограничение на используемые ресурсы:

 

5.Составим матрицу и при помощи функции Maximizeвычислим наибольшую прибыль:

 

 

Решим данную задачу симплекс-методом:

Составим таблицу, поменяв значение прибыли на противоположенные знаки где x5,x6,x7 базисные переменные.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5
x6
x7
f	-40	-60	-20	-25

 

Для определения ведущего элемента находим наибольшее значение по модулю в последней строке, находим минимальное отрицательное отношение элементов свободного столбца к элементам ведущего столбца,на пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится ведущий элемент.

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5
x6
x7
f	-40	-60	-20	-25

 

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Свободные члены
x5	-9/4		-19/8	19/8		-9/8		25/8
x6	11/4		1/8	47/8		-5/8		69/8
X2	5/4		3/8	5/8		1/8		15/8
f			5/2	25/2		15/2		225/2

 

Оптимальное решение:

x1 = 0, x2 = 15/8, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 25/8, x6 = 69/8, x7 = 0

Оптимальное значение:

f (x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=225/2=112.5

Ответ:112,5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математический пакет MathCAD обладает широким диапазон возможностей. С его помощью можно решать различные математические и инженерные задачи. Он просто и удобен в применении. MathCADпозволяет работать с различными уравнениями, неравенствами, матричными данными, а так же строить графики, что наглядно демонстрирует их решение.

В данной работе при помощи MathCAD я произвёл исследование функции на определенном промежутке, построил различные графики. Так же я построил кубический сплайн-интерполяцию несколькими методами (при помощи встроенных функций cspline,pspline,lspline). А так же решил задачу распределения неоднородных ресурсов при помощи встроенной функции Maximize.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. exponenta.ru - Руководство пользователя MathCAD.

2.Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11Автор: В. П. ДьяконовИздательство: Солон-ПрессГод, 2004. 830 с.

3. Справочник по Mathcad 11Автор: Е.М.КудрявцевИздательство: ДМК Пресс,2005.184 с.