Формула прямоугольников (формула «средних»)

Лекция-5

 

Понятие о формулах численного интегрирования.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида

. (1)

Для многих функций первообразные представляют собой достаточно сложные комбинации элементарных функций, либо вовсе не выражаются через них. В таких случаях использование формулы Ньютона-Лейбница на практике не представляется возможным. Во многих практических случаях достаточно получить значение интеграла с заданной точностью . Для вычисления приближенного значения интеграла существуют формулы численного интегрирования. Суть построения формул численного интегрирования состоит в следующем. Разобьем отрезок на частей. Для простоты изложения положим эти части одинаковой длины :

Пронумеруем точки разбиения так, как показано на рис. 1. Имеем:

,

при этом

.

 

Рис. 1. К вопросу о численном интегрировании.

 

Исходный интеграл (1) может быть представлен в виде суммы интегралов по полученным в результате разбиения «малым» отрезкам:

. (2)

Интегралы

(3)

вычисляются по приближенным формулам.

Простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку называются квадратурными формулами. Рассмотрим некоторые из них ниже, а также изучим вопросы их точности. Порядок точности квадратурной формулы определяется степенью полинома (многочлена), для которой эта квадратурная формула точна.

 

Формула прямоугольников (формула «средних»).

Заменим на i-ом участке интегрируемую функцию постоянной величиной, например, равной ее значению в средней точке (рис. 2):

Рис. 2. К интегрированию по формуле прямоугольников.

 

, где . (4)

 

Тогда интеграл на отрезке заменяется площадью прямоугольника, т.е.

 

, (5)

и вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

 

. (6)

 

Кроме того, часто из практических соображений в качестве в формуле (6) берется , либо . В результате получаем:

(7)

– квадратурная формула «левых» прямоугольников;

 

(8)

– квадратурная формула «правых» прямоугольников.

 

Формулы (7) и (8) менее точные, чем (6), но иногда более удобные, например, при численном решении дифференциальных уравнений.

 

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы прямоугольников дают точный результат интегрирования для функций, постоянных на i-ом участке ( ). Квадратурная формула «средних» прямоугольников дает точный результат также и для линейных на i-ом отрезке функций. Это утверждение достаточно проверить для простейшей линейной функции .

 

При точном интегрировании получаем:

,

а при интегрировании по формуле «средних» прямоугольников

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.

 

Формула трапеций.

Заменяем на i-ом участке интегрируемую функцию линейной функцией , принимающей в точках и значения (рис. 3):

, . (9)

 

Рис. 3. К интегрированию по формуле трапеций.

 

Тогда интеграл на отрезке заменятся площадью трапеции ( и – основания, – высота)

. (10)

Вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

 

, (11)

или

. (12)

 

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурная формула трапеций дает точный результат интегрирования для функций, линейных на i-ом участке ( ).

 

Формула Симпсона.

На участке [ ] заменим исходную подынтегральную функцию квадратичнойпараболой. Построим параболу

,

принимающую в точках

значения (см. рис. 4)

, , .

 

Рис. 4. К интегрированию по формуле Симпсона.

 

Такая парабола может быть представлена формулой

, (13)

где

, при этом (14)

или . (15)

 

Делая замену переменных, вычислим приближенное значение интеграла

Параметры , определим из условий

 

В итоге получим квадратурную формулу Симпсона

. (16)

Общая формула для вычисления приближенного значения интеграла примет вид

. (17)

 

Точность вычисления. Как следует из построения квадратурные формулы Симпсона дают точный результат интегрирования для функций, имеющих вид квадратичной параболы на участках [ ], а также формула Симпсона точна для функций, имеющих вид кубической параболы на этих участках. Это утверждение достаточно проверить для .

При точном интегрировании имеем:

 

,

 

а при интегрирование по формуле Симпсона получаем:

 

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.