Построение графиков для второго каскада

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Основы теории цепей»

 

«Исследование активного RC - фильтра»

 

 

Выполнил:

Принял: Сергеев В.В.

 

Санкт-Петербург,

 

Постановка задачи и описание рабочего набора исходных данных.

ВАРИАНТ №38.

 

Задана схема и параметры активного RC – фильтра каскадной структуры. Требуется:

1. Найти передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений.

2. Построить графики АЧХ и ФЧХ в диапазоне частот 0 £w£ 2w₀ ; оценить тип фильтра.

3. Найти переходную характеристику первого звена фильтра и построить ее график в диапазоне 0 £ t £ 2t_св

4. Оценить допустимую величину ступенчатого воздействия на фильтр, если напряжение на входе усилителя второго звена фильтра не должно превышать 0,2 (В) (во избежание его перегрузки).

5. Найти и построить графики:

А) спектральной плотности амплитуд;

Б) спектра фаз;

В) спектральной плотности энергии,

сигналов на входе фильтра и на его выходе, если к его входу подведен одиночный прямоугольный импульс длительностью t_и = 2p/w₀. Оценить области концентрации энергии воздействия и реакции.

6. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

7. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи 1 звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе усилителя звена. Убедиться в устойчивости звена.

Исходные данные:

R1 = 100 (КОм); R2 = 68 (КОм)

R3 = 233 (КОм); C = 1 (нФ); k = 3,4

 

 

1. Разобъем цепь на 2 звена.

РАСЧЕТ ПЕРВОГО КАСКАДА ФИЛЬТРА.

 

 

 

Схема замещения.

Составляем систему узловых уравнений для узла 3:

 

Составляем систему узловых уравнений для узла 4:

Подставляем в предыдущие уравнения:

 

Передаточная функция звена:

 

 

Амплитудно-частотная характеристика звена:

 

 

Фазо-частотная характеристика звена:

 

 

Резонансная частота контура:

 

Добротность контура:

 

РАСЧЕТ ВТОРОГО КАСКАДА фильтра.

 

 

 

 

Схема замещения.

Составляем систему узловых уравнений для узла 3:

 

Составляем систему узловых уравнений для узла 4:

Подставляем в предыдущие уравнения:

 

Передаточная функция звена:

 

Амплитудно-частотная характеристика звена:

 

Фазо-частотная характеристика звена:

 

Резонансная частота контура:

 

 

Добротность контура:

 

 

Построение графиков.

Построение графиков для первого каскада фильтра.

Из полученных в п.1 формул получаем:

 

 

 

Амплитудно-частотная характеристика:

 

Фазо-частотная характеристика

 

Для составляем таблицу:

 

w, 103		1,5	3,1	4,7	6,3	7,8	9,4		12,5	14,14
|H(jw)|		0,088	0,403	1,166	2,733	3,48	2,95	2,541	2,3	2,15
Q(w)		-7,6	-18,4	-40,6	-89,9	-118	-131,9	-148,9	-157	-161,4

 

По полученным данным строим графики ФЧХ (рис.1) и АЧХ (рис.2) первого каскада фильтра. Оценив зависимость |H(jw)| от w и вид передаточной функции делаем вывод, что первый каскад фильтра – ФВЧ (фильтр верхних частот).

 

Построение графиков для второго каскада.

Из полученных в п.1 формул получаем:

 

 

 

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

 

 

Для составляем таблицу:

 

w, 103		1,5	3,1	4,7	6,3	7,8	9,4		12,5	14,14	15,89
|H(jw)|		0,039	0,146	0,298	0,457	0,593	0,697	0,772	0,825	0,862	0,892
Q(w)		-23,9	-48	-70	-89,9	-91	-105	-116,5

 

По полученным данным строим графики ФЧХ (рис.3) и АЧХ (рис.4) второго каскада фильтра. Оценив зависимость |H(jw)| от w и вид передаточной функции делаем вывод, что второй каскад фильтра – ФВЧ (фильтр верхних частот)

 

Используя формулы:

передаточная функция всего фильтра

 

 

амплитудно-частотная характеристика фильтра

 

 

фазо-частотная характеристика фильтра

 

составляем таблицу значений:

 

w, 103		1,5	3,1	4,7	6,3	7,8	9,4		12,5	14,14
|H(jw)|		0,003	0,059	0,347	1,248	2,065	2,057	1,962	1,897	1,854
Q(w)		-31,5	-66,4	-110,6	-180	-209	-236	-265,4	-282	-293,4

 

По полученным данным строим графики ФЧХ (рис.5) и АЧХ (рис.6) фильтра.

Оценив зависимость |H(jw)| от w приходим к выводу, что наш фильтр – ФВЧ (фильтр верхних частот).

 

 

3.Найдем переходную характеристику 1 звена и построим ее график.

 

Подставив эти данные в формулу для h(t) , получаем:

 

 

Для где составляем таблицу:

 

t, 10-4,с
h(t)	1,435	0,863	-0,547	-0,626	0,126	0,379	0,036	-0,198	-0,075	0,088

 

По полученным данным строим график переходной характеристики первого каскада фильтра (рис.7).

4.Во избежание перегрузки 2 звена фильтра напряжение на его входе не должно превышать 2 (В). Чтобы оценить допустимую величину ступенчатого воздействия на фильтр, составим пропорцию:

 

 

Это значит, что амплитуда ступенчатого воздействия на фильтр не должна превышать 0,139 (В).

5.Ко входу фильтра подведен одиночный прямоугольный импульс длительностью

t_и = 7,905^.10^-4(с), с помощью формул:

 

 

для спектральной плотности амплитуд сигнала на

входе фильтра;

 

для спектра фаз (П прибавляется при смене знака

синуса) сигнала на входе фильтра;

 

для спектральной плотности энергии сигнала на

входе фильтра;

для спектральной плотности амплитуд сигнала на

выходе фильтра ;

для спектра фаз сигнала на выходе фильтра;

для спектральной плотности энергии сигнала на

выходе фильтра;

 

Для 0 £ w £ 2^.w_0max составляем таблицу:

w,103		1,7	3,5	5,3		8,8				15,8
|U1(jw)|	7,9.10-4	7,2.10-4	5,5.10-4	3,2.10-4	9,7.10-5	7,7.10-5	1,63.10-4	1,6.10-4	9.10-5
j1(w)		-45	-90	-134	-178	-11	-45	-90	-134	-180
|U1(jw)|2	6,2.10-7	5,3.10-7	3,1.10-7	1.10-7	9,4.10-9	5,9.10-9	2,6.10-8	2,5.10-8	8,3.10-9
|U2(jw)|		3,9.10-6	5,4.10-5	1,9.10-4	1,7.10-4	1,6.10-4	3,2.10-4	3.10-4	1,7.10-4
j2(w)		-78	-150	-245	-360	-222	-285	-370	-425	-480
|U2(jw)|2	6,2.10-7	5,3.10-7	3,1.10-7	1.10-7	9,4.10-9	5,9.10-9	2,6.10-8	2,5.10-8	8,3.10-9

По полученным данным строим графики : спектральной плотности амплитуд сигнала на входе фильтра (рис. 8); спектра фаз сигнала на входе фильтра (рис.9); спектральной плотности энергии сигнала на входе фильтра (рис.10); спектральной плотности амплитуд сигнала на выходе фильтра (рис.11); спектра фаз сигнала на выходе фильтра (рис.12); спектральной плотности энергий сигнала на выходе фильтра (рис.13).

 

6. Передаточная функция 1 звена:

 

Корни уравнения будут иметь вид:

 

 

Передаточная функция 2 звена:

 

 

Корни уравнения будут иметь вид:

 

 

Отметим эти корни на плоскости:

 

 

Т.к. полюса передаточных функций обоих звеньев находятся в левой полуплоскости, можно утверждать, что фильтр устойчив.

 

7.Для построения годографа передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра размыкаем цепь обратной связи на входе усилителя звена.

 

Составим систему узловых уравнений для узла 3:

 

Составим систему узловых уравнений для узла 2:

 

 

Подстановкой в первое уравнение получаем:

 

Функция передачи по петле обратной связи с разомкнутой цепью обратной связи будет иметь вид:

 

Тогда реальную и мнимую части W(jw) можно записать как:

 

 

Для 0 £ w £ 7071 (рад/c) составим таблицу:

 

w, 103		0,789	1,5	2,3	3,1	3,9	4,7	5,5	6,3	7,07
Re(W(jw))		0,258	0,469	0,618	0,716	0,778	0,815	0,837	0,847	0,85
Im(W(jw))		±72,3	±56,5	±43,3	±32,5	±23,7	±16,4	±10,1	±4,7

 

По полученным данным строим годограф (рис. 14).

Т.к. годограф передаточной функции разомкнутой системы W(jw) не охватывает точку (1,j0), то при замкнутой цепи обратной связи система является устойчивой.