III. Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга матрицы

Минор к-го порядка матрицы А –определитель, составленный из элементов данной матрицы, расположенных на пересечении каких-либо ее к строк и к столбцов.

Пример: Получим какой-нибудь минор третьего порядка. Рассматриваем три произвольные строки, например, 1-ю, 3-ю и 4-ю, три произвольных столбца, например, 1-й, 2-й и 4-й и с их пересечения «снимаем» минор 3-го порядка: .

Что касается миноров 4-го порядка, то здесь выбор уже невелик: необходимо задействовать все 4 строки и четыре произвольных столбца, например, все столбцы, за исключением 3-го:

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от «0».

Обозначается: r(A); rang(A)

Свойства ранга:

1. Ранг матрицы А_mxn удовлетворяет неравенству: 0≤r(A)<min(m,n)

2. r(A)=0óA=0

3. A_nxn, r(A)=n ó|A|≠0

4. r(A^T)=r(A)

5. Если вычеркнуть из матрицы нулевые строки (столбцы), то ранг матрицы не изменится.

IV. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

a_ij – коэффициенты;

b_i – свободные члены;

x_j – неизвестные

i =

j = 1, n

Система может быть записана в виде: A= Расширенная матрица:

Ȃ=

Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система имеет ровно одно решение, то она называется определенной.

Критерии совместности системы. Решение системы методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли (критерии совместности системы).

Система СЛАУ является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

r(A)=r(Ȃ)

Если r(A)=r(Ȃ)=n (количество неизвестных, столбцов), то система имеет единственное решение.

Если r(A)=r(Ȃ)<n, то система имеет бесконечное множество решений.

Метод Гаусса.

Решение СЛАУ состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к ступенчатому виду (прямой ход), а затем неизвестное x_ij находят последовательно, начиная с последнего уравнения (обратный ход).

Пример: Если r(A)=2=r(Ȃ)<3, тогда система называется совместной и имеет бесконечное множество решений.

В этом случае внутри матрицы А выбираем какой-либо базисный минор (ненулевой минор, порядок которого равен r(A)). Лучше выбирать треугольный. Те неизвестные, коэффициенты которых вошли в базисный минор, называют главными. Остальные неизвестные называют свободными и переносят в правую часть уравнения.

Обратный ход.

Свободным неизвестным придают произвольные значения (x=c, c?|R).

Главные неизвестные выражают через свободные.

Получаем т.н. общее решение (с, 10-5с, 7-3с)^Т, в котором содержатся все решения данной системы. Подставляя в общее решение конкретные (фиксированные) значения постоянной «с», будем получать конкретные частные решения.

Пример: r(A)=2≠r(Ȃ)=3.

Система несовместна. Ответ: решений нет.

Задание в билете.

Найти координаты точки М, симметричной точке Р(-3,4), относительно прямой 4x-y-1=0.

Задаем уравнение перпендикулярной прямой:

Ax+By+C=0 (перпендикуляр: Bx-Ay+D=0), В=-1; А=4,

-1х-4y+D=0;

Так как точка Р(-3;4) принадлежит прямой, то

-1*(-3)-4*4+D=0

3-16+D=0

D=13. Имеем уравнение перпендикуляра: -1х-4y+13=0;

2) Находим точку пересечения прямых:

4x-y-1=0;

-x-4y+13=0

Решаем: х=1, y=3.

Точка пересечения: N(1,3), точка конца отрезка P(-3;4)

Известны середина и конец отрезка, т.о. через вычисление середины отрезка найдем координаты конца отрезка (симметричную точку)

Точка М (b;c)

1=(-3+b)/2; -3+b=2; b=5.

3=(4+c)/2; 4+c=6; c=2.

M(5;2)