АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Краткая теория

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значения какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда ( ) формируется из трендовой ( ), циклической ( ) и случайной ( ) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: ; мультипликативная модель: .

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, и для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты ;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели;

4) аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнение тренда;

5) расчет полученных по модели значений или ;

6) расчет абсолютных и(или) относительных ошибок.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

– линейная ;

– гипербола ;

– экспонента ;

– степенная функция ;

– парабола второго и более высоких порядков .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Десезонализация данных – это устранения влияния сезонной компоненты на уровни временного ряда.

 

 

Пример выполненной лабораторной работы № 4

Тема

Задание. Имеются поквартальные данные об объемах потребления электроэнергии жителям региона за 4 года (Таблица 5.2.1).

Таблица 5.2.1

год	Квартал 1	Квартал 2	Квартал 3	Квартал 4

 

 

Требуется:

1) Построить аддитивную модель;

2)Постоить мультипликативную модель;

3) Выполнить прогноз потребления электроэнергии на первый квартал 2014 года.

Решение.

1) Аддитивная модель

Шаг 1.Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней, для этого:

1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени.

2.Разделив полученные суммы на четыре, найдем скользящую среднюю. Полученные таким образом значения не содержат сезонной компоненты.

3.Приведем эти значения в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Шаг 2.Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Результат занесем в таблицу (Таблица 5.2.2).

Таблица 5.2.2

Квартал,t	уt	итого за 4к	скол.среднее	центриров. Ск.ср.	оценка сезон.комп.
			36,75
				39,375	9,625
			47,25	44,625	17,375
				49,625	-6,625
			56,25	54,125	-19,125
			60,5	58,375	9,625
			65,25	62,875	16,125
			70,5	67,875	-7,875
			76,75	73,625	-19,625
			81,75	79,25	9,75
				84,375	19,625
			91,25	89,125	-9,125
			97,25	94,25	-19,25
			77,25

 

Используем полученные оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние значения за каждый квартал по всем годам.

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные взаимодействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Этот факт мы будем использовать для корректировки сезонной компоненты (Таблица 5.2.3).

Таблица 5.2.3

Показатель	год	квартал1	квартал2	квартал3	квартал4
				9,625	17,375
		-6,625	-19,125	9,625	16,125
		-7,875	-19,625	9,75	19,625
		-9,125	-19,25	-	-
итого за iкв		-23,625	-58		53,125
ср.оценка сез.комп.		-7,875	-19,3333	9,666667	17,70833
скорректир.сез комп.		-7,91667	-19,375	9,625	17,66667

 

Сумма значенийсезонной компоненты по всем кварталам составит:

-7,875-19,3333+9,666667+17,70833 =0,166667;

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значениясезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом:

,

где i=1,2,3,4. Проверим условие равенства нулевой суммой значений сезонной компоненты: -7,91667-19,375+9,625+17,66667=0;

Шаг 3.Устраним сезонную компоненту, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (Таблица 5.2.4).

Таблица 5.2.4

t	yt	Si	yt-Si	T
		-7,875	29,875	28,6901
		-19,3333	33,3333	33,7592
		9,666667	39,33333	38,8283
		17,70833	44,29167	43,8974
		-7,875	50,875	48,9665
		-19,3333	54,3333	54,0356
		9,666667	58,33333	59,1047
		17,70833	61,29167	64,1738
		-7,875	67,875	69,2429
		-19,3333	73,3333	74,312
		9,666667	79,33333	79,3811
		17,70833	86,29167	84,4502
		-7,875	87,875	89,5193
		-19,3333	94,3333	94,5884
		9,666667	96,33333	99,6575
		17,70833	110,2917	104,7266

Шаг 4. Определим компоненту Т для данной модели путем построения линейного тренда по данным, находящимся в столбце .

Получим тренд (Рисунок 5.2.1.):

 

Рисунок 5.2.1

 

 

2) Мультипликативная модель.

Шаг 1.Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней были выполнены при построении аддитивной модели.

Шаг 2.Найдем оценки сезонной компоненты как отношение фактических уровней ряда к центрированным скользящим средним. Результат занесем в таблицу (Таблица 5.2.5).

 

Таблица 5.2.5

Квартал,t	уt	итого за 4к	скол.среднее	центриров. Ск.ср.	оценка сезон.комп.
					-
			36,75		-
				39,375	1,244444444
			47,25	44,625	1,389355742
				49,625	0,866498741
			56,25	54,125	0,64665127
			60,5	58,375	1,164882227
			65,25	62,875	1,256461233
			70,5	67,875	0,883977901
			76,75	73,625	0,73344652
			81,75	79,25	1,123028391
				84,375	1,232592593
			91,25	89,125	0,897615708
			97,25	94,25	0,795755968
			77,25

 

Полученные значения занесем в таблицу 5.2.6:

Таблица 5.2.6

	квартал1	квартал2	квартал3	квартал4
	-	-	1,2444	1,3894
	0,8665	0,6467	1,1649	1,1256
	0,8839	0,7334	1,123	1,2326
	0,8976	0,7958	-	-
среднее	0,88267	0,7253	1,177433	1,2492

Определим корректирующий множитель. Он равен отношению 4 к сумме вычисленных индексов:

4/(0,88267+0,7253+1,177433+1,2492) =0,991423444.

На корректирующий множитель умножается значение каждого из четырех квартальных индексов. Сумма скорректированных индексов должна быть равна числу периодов сезонности (в данном примере числу кварталов). В данном примере скорректированные индексы следующие:

S₁ = 0,88267* 0,99142= 0,875097;

S₂ = 0,7253* 0,99142= 0,71908;

S₃ = 1,177433* 0,99142= 1,167336;

S₄ = 1,2492* 0,99142= 1,238487;

Шаг 3 .Десезонализированные данные вычисляются как отношение фактических уровней временного ряда к соответствующему индексу сезонности:

d_t = y_t/S_t ;

Вычислим десезонализированные данные (Таблица 5.2.7):

 

Таблица 5.2.7

yt	St	dt
	0,875097	25,14007
	0,71908	19,46932
	1,167336	41,97592
	1,238487	50,06108
	0,875097	49,13741
	0,71908	48,6733
	1,167336	58,25229
	1,238487	63,78751
	0,875097	68,56383
	0,71908	75,09596
	1,167336	76,24197
	1,238487	83,97343
	0,875097	91,41844
	0,71908	104,2999
	1,167336	90,80505
	1,238487	103,3519

Шаг 4. По десезонализированным данным строится тренд, как уравнение парной регрессии, где -зависимая переменная, а – объясняющий фактор. Линейный тренд в данном примере имеет вид:

;

3) Выполним прогноз на первый квартал 2014 года по аддитивной модели:

t = 17;

S₁=-7,91667;

ŷ₁₇=(23,621+5,0691*17)-7,91667=108,879 (млн. киловатт в час).

 

Выполним прогноз на первый квартал 2014 года по мультипликативной модели:

t = 17;

Коэффициент сезонности: S₁ = 0,875097;

= (5,2872*17 + 20,699)*0,875097 = 94,0938(млн. киловатт в час).

 

Варианты индивидуальных заданий к лабораторной работе №4

Задание. Имеются поквартальные данные об объемах потребления электроэнергии жителям региона за 4 года (Таблица 5.3.1).

Таблица 5.3.1

Год	Квартал 1	Квартал 2	Квартал 3	Квартал 4
	22+2N	14+2N	49+2N	62+2N
	43+3N	35+3N	68+3N	79+3N
	60+4N	54+4N	89+4N	104+4N
	79+5N	75+5N	106+5N	128+5N

Требуется: построить аддитивную модель и мультипликативную модели и выполнить прогноз потребления электроэнергии на N кварталов вперед. N- номер варианта.