Пример выполненной лабораторной работы №5

Тема: «Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры»

Задание.

Имеются данные за 30 последовательных периодов:

 

	15,9		13,5	16,9		14,5	17,9		15,5	18,9		16,5	19,9		17,5

 

	20,9		18,5	21,9		19,5	22,9		20,5	24,2	35,3	21,8	25,4	36,5

 

Требуется: рассчитать коэффициенты автокорреляции до максимально возможного уровня; построить автокорреляционную функцию; сделать выводы о структуре ряда; предложить модель авторегрессии для описания ряда.

Решение.

Для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка r₁ составим таблицу 6.2.1.

Таблица 6.2.1

	15,9
		15,9	3,362069	-7,4931	11,30350773	56,14659929	-25,19233056
	13,5		-10,1379	3,606897	102,7776457	13,00970273	-36,56646849
	16,9	13,5	-6,73793	-9,8931	45,39971463	97,87349584	66,65904875
		16,9	4,362069	-6,4931	19,02764566	42,16039239	-28,32336504
	14,5		-9,13793	4,606897	83,50178359	21,22349584	-42,09750297
	17,9	14,5	-5,73793	-8,8931	32,92385256	79,08728894	51,02801427
		17,9	5,362069	-5,4931	28,75178359	30,17418549	-29,45439952
	15,5		-8,13793	5,606897	66,22592152	31,43728894	-45,62853746
	18,9	15,5	-4,73793	-7,8931	22,44799049	62,30108205	37,39697979
		18,9	6,362069	-4,4931	40,47592152	20,1879786	-28,58543401
	16,5		-7,13793	6,606897	50,95005945	43,65108205	-47,15957194
	19,9	16,5	-3,73793	-6,8931	13,97212842	47,51487515	25,7659453
		19,9	7,362069	-3,4931	54,20005945	12,2017717	-25,71646849
	17,5		-6,13793	7,606897	37,67419738	57,86487515	-46,69060642
	20,9	17,5	-2,73793	-5,8931	7,49626635	34,72866825	16,13491082
		20,9	8,362069	-2,4931	69,92419738	6,215564804	-20,84750297
	18,5		-5,13793	8,606897	26,39833532	74,07866825	-44,2216409
	21,9	18,5	-1,73793	-4,8931	3,020404281	23,94246136	8,503876338
		21,9	9,362069	-1,4931	87,64833532	2,229357907	-13,97853746
	19,5		-4,13793	9,606897	17,12247325	92,29246136	-39,75267539
	22,9	19,5	-0,73793	-3,8931	0,544542212	15,15625446	2,872841855
		22,9	10,36207	-0,4931	107,3724732	0,243151011	-5,109571938
	20,5		-3,13793	10,6069	9,846611177	112,5062545	-33,28370987
	24,2	20,5	0,562069	-2,8931	0,315921522	8,370047562	-1,626123662
	35,3	24,2	11,66207	0,806897	136,0038526	0,651082045	9,410083234
	21,8	35,3	-1,83793	11,9069	3,377990488	141,7741855	-21,8840547
	25,4	21,8	1,762069	-1,5931	3,104887039	2,537978597	-2,807158145
	36,5	25,4	12,86207	2,006897	165,4328181	4,027633769	25,81284185
		36,5	-0,63793	13,1069	0,406956005	171,7907372	-8,361296076
cр	23,64	23,39
сум					1247,648276	1305,378621	-303,7024138

 

Полученное значение свидетельствует о слабой зависимости между уровнями временного ряда текущего и предшествующего периодов.

Рассчитать коэффициенты автокорреляции 2-го и последующих уровней можно путем составления аналогичной таблиц. Однако, этот процесс достаточно трудоемок. Для облегчения задачи построим линейные тренды в ППП Exel. Для этого нужно выделить соответствующий диапазон данных (например для расчета нам нужны данные у₃, у₄,…,у₃₀ и у₁, у₂,…,у₂₈ ), затем построить точечную диаграмму и добавить линейный тренд. При построении тренда поставить галочку у флажка «Показывать величину аппроксимации на диаграмме (R²) ». Затем из полученного R² выделить корень квадратный. Для данного примера .

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции нескольких уровней. Максимально возможный лаг не должен превышать , то есть можно рассчитать коэффициенты автокорреляции до 7-го порядка включительно.

 

 

Для r₂:

 

 

Для r₃:

 

 

Для r₄:

 

Для r₅:

 

Для r₆:

 

 

Для r₇:

 

 

Итак, автокорреляционная функция имеет вид:

лаг,
	-0,2379	0,2114	0,9999	0,2917	0,2572	0,9996	0,3431

 

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод об отсутствии в изучаемом временном ряде сильной линейной тенденции и существовании сезонных колебаний с периодом три (r₃ = 0,9999 и r₆ = 0,9996).

Для прогнозирования значений в будущие периоды в данном случае целесообразно предложить уравнение авторегрессии вида: .

 

Варианты индивидуальных заданий к лабораторной работе №5

Задание. Имеются данные за 30 последовательных периодов.

Требуется: 1)рассчитать коэффициенты автокорреляции до максимально возможного уровня; 2)построить автокорреляционную функцию; 3) сделать выводы о структуре ряда; предложить модель авторегрессии для описания ряда.

 

Вар
Нед
	26,9		54,7	15,1	21,1	77,8	45,1	99,3	55,2	115,1	74,7	139,3	9,3	15,2	3,9
		68,4	74,7	21,1	28,7	62,6	34,5	98,2	57,1	121,1	71,7	138,2	8,2	17,1	4,1
	24,5	34,8	71,7	28,7	27,2	78,1	42,1	97,2	56,3	128,7	74,5	137,2	7,2	16,3	3,7
	27,9		74,5	27,2	28,3	78,8	37,2	96,9	54,9	127,2	75,7	139,9	9,9	14,9	4,2
		40,3	73,2	16,4	52,3	63,6		97,3	57,4	116,4	72,7	137,3	7,3	17,4	5,2
	25,5	69,7	56,1	22,4	22,8	79,1	41,3	95,8	55,3	122,4	75,5	135,8	5,8	15,3	5,4
	28,9	36,1	76,1		22,2	79,8	35,9	100,4	58,5		76,7	140,4	10,4	18,5	5,1
		40,3	73,1	28,5	29,8	64,6	43,5	99,3	57,7	128,5	73,7	139,3	9,3	17,7	5,5
	26,5	41,9	75,9		28,3	80,1	38,6	98,3	56,3		76,5	138,3	8,3	16,3	6,8
	29,9	71,3	74,6		29,4	80,8	42,4		58,8		77,7			18,8	7,2
		37,7	55,4	31,6	53,4	65,6	40,6	98,4	54,6	131,6	74,7	138,4	8,4	14,6	6,6
	27,5	41,9	75,4	30,1	23,9	81,1	35,2	96,9	57,8	130,1	77,5	136,9	6,9	17,8	7,1
	30,9	43,4	72,4	19,5	24,2	81,8	42,8	102,4		119,5	78,7	142,4	12,4		8,3
		72,8	75,2	25,5	31,8	66,6	37,9	101,3	55,6	125,5	75,7	141,3	11,3	15,6	8,5
	28,5	39,2	73,9	33,1	30,3	82,1	41,7	100,3	58,1	133,1	78,5	140,3	10,3	18,1	8,1
	31,9	43,4		31,6	31,4	82,8	42,2		56,2	131,6	79,7			16,2	8,6
		42,9			55,4	67,6	36,8	100,4	59,4		76,7	140,4	10,4	19,4	7,8
	29,5	72,3			25,9	83,1	44,4	98,9	58,6		79,5	138,9	8,9	18,6	8,1
	32,9	38,7	76,8	32,6	25,7	83,8	39,5	103,9	57,2	132,6	80,7	143,9	13,9	17,2	7,6
		42,9	75,5	31,1	33,3	68,6	43,3	102,8	59,7	131,1	77,7	142,8	12,8	19,7	8,1
	30,5	42,7	58,7	18,8	31,8	84,1	43,9	101,8	57,9	118,8	80,5	141,8	11,8	17,9	7,6
	33,9	72,1	78,7	24,8	32,9	84,8	38,5	101,5	61,1	124,8	81,7	144,5	14,5	21,1	7,8
		38,5	75,7	32,4	56,9	69,6	46,1	101,9	60,3	132,4	78,7	141,9	11,9	20,3	7,4
	31,5	42,7	78,5	30,9	27,4	85,1	41,2	100,4	58,9	130,9	81,5	140,4	10,4	18,9	7,9
	35,2	44,1	77,2	20,2	25,4	86,1		103,6	61,4	120,2		143,6	13,6	21,4	9,2
	46,3	73,5	61,7	26,2		70,9	46,9	102,5	60,9	126,2		142,5	12,5	20,9	9,2
	32,8	39,9	81,7	33,8	31,5	86,4	41,5	101,5	64,1	133,8	82,8	141,5	11,5	24,1	8,8
	36,4	44,1	78,7	32,3	32,6	87,3	49,1	101,2	63,3	132,3	84,2	144,2	14,2	23,3	9,3
	47,5	43,8	81,5	19,9	56,6	72,1	44,2	101,6	61,9	119,9	81,2	141,6	11,6	21,9	8,7
		73,2	80,2	25,9	27,1	87,6		100,1	64,4	125,9		140,1	10,1	24,4	8,9

 

 

Вар
Нед
	19,1	46,8	65,6	18,1	25,3	93,4	54,1	119,2	66,2	138,1	89,6	167,2	11,2	18,2	4,7
	32,4	82,1	89,6	25,3	34,4	75,1	41,4	117,8	68,5	145,3	86,1	165,8	9,8	20,5	4,9
	16,2	41,8	86,1	34,4	32,6	93,7	50,5	116,6	67,6	154,4	89,4	164,6	8,6	19,6	4,4
	20,3	46,8	89,4	32,6	34,1	94,6	44,6	116,3	65,9	152,6	90,8	167,9	11,9	17,9	5,1
	33,6	48,4	87,8	19,7	62,8	76,3	49,2	116,8	68,9	139,7	87,2	164,8	8,8	20,9	6,2
	17,4	83,6	67,3	26,9	27,4	94,9	49,6	115,1	66,4	146,9	90,6	163,1	7,1	18,4	6,5
	21,5	43,3	91,3	36,1	26,6	95,8	43,1	120,5	70,2	156,1	92,1	168,5	12,5	22,2	6,1
	34,8	48,4	87,7	34,2	35,8	77,5	52,2	119,2	69,2	154,2	88,4	167,2	11,2	21,2	6,6
	18,6	50,3	91,1	21,6	34,1	96,1	46,3	118,1	67,6	141,6	91,8		10,1	19,6	8,2
	22,7	85,6	89,5	28,8	35,3	97,1	50,9	117,6	70,6	148,8	93,2	169,2	13,2	22,6	8,6
	36,1	45,2	66,5	37,9	64,1	78,7	48,7	118,1	65,5	157,9	89,6	166,1	10,1	17,5	7,9
	19,8	50,3	90,5	36,1	28,7	97,3	42,2	116,3	69,4	156,1	93,1	164,3	8,3	21,4	8,5
	23,9	52,1	86,9	23,4	29,1	98,2	51,4	122,9	68,4	143,4	94,4	170,9	14,9	20,4	10,1
	37,2	87,4	90,2	30,6	38,2	79,9	45,5	121,6	66,7	150,6	90,8	169,6	13,6	18,7	10,2
	21,1	47,1	88,7	39,7	36,4	98,5	50,1	120,4	69,7	159,7	94,2	168,4	12,4	21,7	9,7
	25,1	52,1	68,4	37,9	37,7	99,4	50,6	120,1	67,4	157,9	95,6	171,6	15,6	19,4	10,3
	38,4	51,5	92,4	22,8	66,5	81,1	44,2	120,5	71,3	142,8	92,1	168,5	12,5	23,3	9,4
	22,2	86,8	88,8	30,1	31,1	99,7	53,3	118,7	70,3	150,1	95,4	166,7	10,7	22,3	9,7
	26,3	46,4	92,2	39,1	30,8	100,6	47,4	124,7	68,6	159,1	96,8	172,7	16,7	20,6	9,1
	39,6	51,5	90,6	37,3	40,1	82,3	52,1	123,4	71,6	157,3	93,2	171,4	15,4	23,6	9,7
	23,4	51,2	70,4	22,6	38,2	100,9	52,7	122,2	69,5	142,6	96,6	170,2	14,2	21,5	9,1
	27,5	86,5	94,4	29,8	39,5	101,8	46,2	121,8	73,3	149,8	98,1	173,4	17,4	25,3	9,4
	40,8	46,2	90,8	38,9	68,3	83,5	55,3	122,3	72,4	158,9	94,4	170,3	14,3	24,4	8,9
	24,6	51,2	94,2	37,1	32,9	102,1	49,4	120,5	70,7	157,1	97,8	168,5	12,5	22,7	9,5
	29,1	52,9	92,6	24,2	30,5	103,3	54,1	124,3	73,7	144,2	99,6	172,3	16,3	25,7	11,1
	42,4	88,2	74,1	31,4	39,6	85,1	56,3	123,1	73,1	151,4	96,1	171,1	15,1	25,1	11,1
	26,2	47,9	98,1	40,6	37,8	103,7	49,8	121,8	76,9	160,6	99,4	169,8	13,8	28,9	10,6
	30,5	52,9	94,4	38,8	39,1	104,8	58,9	121,4		158,8	101,1	173,1	17,1	28,1	11,2
	43,8	52,6	97,8	23,9	67,9	86,5	53,1	121,9	74,3	143,9	97,4	169,9	13,9	26,3	10,4
	27,6	87,8	96,2	31,1	32,5	105,1	57,6	120,1	77,3	151,1	100,8	168,1	12,1	29,3	10,7

 

7. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона.

Краткая теория.

Рассмотрим уравнение регрессии вида:

,

где -число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени значение компоненты определяется как: или .

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае говорят об автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами:

1) Наличие ошибок в измерениях исходных данных.

2) Ошибка в выборе модели: модель не включает факторы, оказывающие существенное воздействие на результат (фактор времени или некоторые лаговые переменные).

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуацию, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели (например, для нелинейной тенденции использовано линейное уравнение). В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1) Построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

2) Использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется так:

,

где , .

Следующее соотношение связывает критерий Дарбина-Уотсона с коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

.

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция и , то . Если автокорреляция отсутствует, то , а . Следовательно, .

Алгоритм выявления автокорреляции на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблицам определяются критические значения статистики Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям промежуток разбивается на пять отрезков:

1. Если статистика Дарбина – Уотсона , то отклоняется и принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции в остатках.

2. Если , то отклоняется и принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции в остатках.

3. Если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках принимается.

4. Если или , то гипотезу нельзя ни принять, ни отвергнуть.

Уравнение можно использовать для анализа и прогноза только в случае отсутствия в нем автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дабина-Уотсона:

1) он неприменим к моделям авторегрессии, т.е. моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака;

2) выявляет автокорреляцию остатков только первого порядка;

3) дает достоверные результаты только для больших выборок.