Тема 4 «Уравнение касательной»

1)Напишите уравнение касательной к гр-ку функции в точке с абсциссой х₀.

а) f(x) = – x2 + 6x + 8, x0 = – 2  б) f(x) = e0,5x, x0 = ln4

а) f(x) = – x2 – 4x + 2, x0 = – 1 б) f(x) = ln(2x – e), x0 = e

2) Найдите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x2 – 4x + 5

f (x) = x2 + 3x + 5

если эта касательная проходит через точку (0; 4) [ (0; 1) ] и абсцисса точки касания положительна [ отрицательна ].

3) К графику функции у =  [ у =  ] проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀ = – 1 [ х₀ = 1 ]. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.

4) Какой угол (острый, прямой или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точках – 1; 0; 1?

у = х3 – х2

у = х2 – х3

5) В какой точке касательная к графику функции у = – х² + 4х – 3 параллельна оси абсцисс?

5) В какой точке касательная к графику функции у = 0,5х² + 1 параллельна прямой у = – х – 1 ?

6) Прямая у = х – 2 [ у = – х + 3] касается графика функции у = f(x) в точке х₀ = – 1 [ х₀ = – 2 ]. Найдите f(– 1) [f(– 2) ].

7) Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции у = log₄(x – 2) [ у = log₃(5 – x) ] в точке х₀ = 3 [ х₀ = 4 ] пересекает ось Оу.

8) При каком значении р прямая  у = ех + р [ у = 2ех + р ] является  касательной к графику функции f(x) = lnx ?

9) При каком значении р  прямая у = 3 + х [ у = 4 – х ] является касательной к графику функции f(x) = e ^{x – p} [ f(x) = e ^{– x – p} ] ?

10) Найдите уравнение касательной к графику функции

если эта касательная проходит через точку (– 0,5; 0)  

Тема 5 «Исследование функций»

1) Найти стационарные (критические) точки функции.

f(x) = – x3/3 + x2/2 + 2x – 3

f(x) = – x3/3 – x2/4 + 3x – 2

2) Найти точки экстремума функции.

f(x) = 0,5х4 – 2х3; f(x) = xe

f(x) = 1,5х4 + 3х3; f(x) = x(1/e)

3) Найти экстремумы функции.

1-в) f(x) =

2-в) f(x) =

3-б) f(x) = ;

4) Найти промежутки убывания функции.

1-в) f(x) = х3 – 6х2 + 5

2-в) f(x) = х3 + 9х2 – 4

3-б) f(x) = lg sinx

5) Найти промежутки возрастания функции.

1) ;

2) ;

3-б)

6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.

1) у = ; у = 1,5lg2x + lg3x

2) у = ; y = (x2 – 2x + 1)x

3-б) у =

7) При каком значении р функция имеет экстремум в точках х₁ и х₂ ?

f(x) = , х1 = 2, х2 = – 2

f(x) = , х1 = 0, х2 = 6

8) Постройте график функции.

а) у = х3 – 12х + 2 б) у =          в) у = – х4 + 2х3 + 2      г) у = 3х5 – 5х3 + 1      д) у =

а) у = – х3 + 3х + 1  б) у =                               в) у = х4 – 2х3                                              г) у = 10х6 – 12х5 – 15х4 + 20х3    д) у =

а) у = cos2x – 2cosx б) у = в) у = 10                  г) y = д) у =

е*) у = . Сколько действительных корней имеет уравнение у = С ?

9*) При каком значении параметра р значения функции у = х³ – 6х² + 9х + р в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, являются членами геометрической прогрессии?

 

Тема 5 «Наибольшее и наименьшее значения»

Вариант № 1                                        Вариант № 2

1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

а) f(x) = x3 – 2x2 + x – 3, [1/2; 2]           б) f(x) = 1/2 sin3x , [4п/9; п]                      в) f(x) = , [– 1; 2]                          г) f(x) = , [– 1; 2]                             д) f(x) = , [0; 3]

а) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1, [– 4; – 1/3] б) f(x) = 1/3 сos2x, [п/6; п] в) f(x) = , [1/e; e3] г) f(x) = , [– 1; 2] д) f(x) = , [– 2; 0]

2) При каком значении х функция у = х³ – х² [ у = х⁴ + х³] на отрезке [0,5; 1] ( [– 1; – 0,5] ) принимает наименьшее значение ?

3) Найдите область значений функции.

1) f(x) = ; 2) f(x) = ;3) Д – ть:

4) H аибольшее значение функции f(x) = – x² + bx + c равно  7, а значение с на  25% меньше  b. Найти положительное значение b.

4) H аименьшее значение функции f(x) = x² + bx + c равно  1, а значение с на  25% больше  b. Найти положительное значение b.

5) Найдите наименьшее [ наибольшее] значение функции на промежутке

f(x) = 3х4 – 8x3 + 6x2 + 5,  (– 2; 1)

f(x) = 4х5 – 15х4 – 3,  (– 1; 1)

6) В каких пределах изменяются значения функции?

f(x) = cosx + 1/2 cos2x, x [0; п]

f(x) = sinx + 1/2 sin2x, x [– п/2; п/3]

7) Площадь прямоугольника равна 81 см² [ 25 см² ]. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

8) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см [60 см]. При каком значении боковой стороны [ высоты, проведённой к основанию ], площадь треугольника наибольшая?

9) Число 24 [ 18 ] представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что

произведение их квадратов принимает наибольшее значение.

[сумма их квадратов принимает наименьшее значение.]

10) Требуется изготовить закрытый [ открытый ]  цилиндрический бак ёмкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?

11*) Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объёме имеет наименьшую полную поверхность.

12*) Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объёме имеет наименьшую площадь боковой поверхности

 

Тема 5 «Первообразная»

Вариант № 1                                        Вариант № 2

1) Найти первообразные функций

а) f(x) =                               б) f(x) =                                      в) f(x) =  , при  х > 0,5               г) f(x) = , если  F(4) = – 2               д) f(x) =  , если  F(1,5) = 1           e) f(x) =( ) –1+ , при х > –0,5 ж) f(x) =                                  з) f(x) =                                        и) f(x) =                     к) f(x) =                                л) f(x) =                               м) f(x) =

а) f(x) =   б) f(x) =      в) f(x) =  , при  х > – 0,5     г) f(x) = , если F(– 15) = 6 д) f(x) =  , если F(– 2) = 5  e) f(x) =( ) –1 – , при х > 0,5ж) f(x) =    з) f(x) =                                            и) f(x) = к) f(x) = л) f(x) = м) f(x) =

2) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через данную точку. 1) f(x) = 2sin3x, М(п/3; 0); 2) f(x) = 3сos2x, М(п/4; 0)

3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 3х – 1[f(x) = 2х – 4], для которой уравнение F(x) = 5 [ F(x) = 1 ] имеет 2 равных корня.

4) Найти те первообразную  функции f(x) = х² – 5х + 3  [f(x) = х² – 2х + 1 ], графики которых касаются прямой  у = – 3х – 1  [у = 4х – 2].

Тема 9 «Интеграл»

Вариант № 1                                           

 

2) При каком значении р :

Вариант № 2                                           

 

2) При каком значении р :

 

 

Тема 7 «Площадь криволинейной трапеции»

Вычислите площади фигур, ограниченных графиками

1) у = – х2 + 4х – 3, у = 0    1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2  2) у = х2 + 4х + 10, х = 0 и                          касательной в точке х0 = – 3               3) y = sinx, y = cosx, x = п/4, х = п        4) f(x) = 4x, F(x), если график                                   функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (– 1; – 4). 5) f(x) = – 2x + 4, F(x), x = 1, если график функции f(x) является касательной для графика F(x).                                                                 6) у = , у = 6 – х                          7) у = ех, у = е2, х = 0                                   8) y =                 9) y = , y = 0, x = – 4, x = 1

1) у = – х2 + х + 2, у = 0 1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2  2) у = х2 – 2х + 5, х = 0, и касательной в точке х0 = 2 3) y = sinx, y = cosx, 4) f(x) = 2x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из  которых (3; 6). 5) f(x) = – 2x – 4, F(x), x = – 4, если график функции f(x) является касательной для графика F(x).                                                                 6) у = , у = 4 – х 7) у = е -х, у = е, х = е 8) y = 9) y = , y = 0, x = – 9, x = 4

10) Найти р, если известна площадь фигуры, ограниченной графиками

 у = , у = рх², S =                         у = , у = рх, S = 4,5

11) В каком отношении парабола у = х² [ у = х² ] делит площадь круга

х² + у²  8 [ х² + у²  2 ]?

 

 

Тема « Задачи из билетов по алгебре»

1) Найти: а)sin(arccos4/5); б)cos(arcsin1/6); в)cosxcosy, если х= ,у=

г) ; д) tg , если ; е)

ж) , если  tg з) (1/9)

и) lg(x³ + 8) – 0,5lg(x² + 4x + 4) – lg(x² – 2x + 4)

2) Решить уравнения.

а) arсcos(x – 1) = п/4 б) arctg(4x + 2) = – п/6 в)    

г)   д) log_{x – 1}(x² – 5x + 10) = 2 е)  ж)

3) Решить неравенства. а)sinx+ cosx <0; б)sin²x ;в)2cos²x+5cosx– 3<0

г)5^lgx – 3^{lgx – 1} < 3^{lgx + 1} – 5^{lgx – 1}; д)log₂(9 – 2^x) < 3 – x; е)2log_x25 – 3log₂₅x > 1  

4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведённой к графику функции  у = 1 + sinx в точке с абсциссой х₀ = п.

5) В каких точках касательная к у = 1/3х³ – х² – х + 1 параллельна у = 2х – 1?

6) Построить : f(x)= ; у=2sin ; y=sin²(log₅(2–x)) + cos²(log₅(2–x))