Особенности расчета СНС на температурное воздействие и на смещение опорных связей
Расчет на температурное воздействие
Система канонических уравнений имеет вид
δ11 x1t + δ12 x2t +K+ δ1n x n t +∆1t=0; δ 21 x1t + δ 22 x2t +L+ δ 2n x n t +∆2t=0;
LLLLLLLLLLLLLLL (6.9)
δ n1 x1t + δ n 2 x2t +L+ δ nn x n t +∆ nt =0.
83 или в матричной форме [D ]{X t }+ {∆ t }= 0 .
Здесь ∆ it – перемещение в основной системе по направлению X i t от дейст-
α t 0
t0
– коэффициент линейного расширения;
– изменение температуры на оси стержня, для симметричного сечения: = t1 + t2 ; ∆ t= t 1 - t 2 ; h s – высота поперечного сечения. 2
Окончательные эпюры M t, Q t и N t строятся по выражениям:
Эпюры Q t может быть также построены по эпюре моментов, а эпюра N t по эпюре Q t. .
Расчет на смещение опорных связей
Система канонических уравнений имеет вид
δ11 x1∆+ δ12 x2∆+K+ δ1n x n∆+∆1∆=0; δ 21 x1∆+ δ 22 x2∆+L+ δ 2n x n∆+∆2∆=0;
LLLLLLLLLLLLLLL (6.13)
δ n1 x1∆+ δ n 2 x2∆+L+ δ nn x n∆+∆n∆=0.
84
Пример 6.1 (продолжение). Рассмотрим задачу,когда имеет место темпе-ратурное воздействие на участке B-D левой стойки рамы (рис. 6.12, а). Требуется построить эпюры M t , Q t , N t , используя метод сил.
Для расчета потребуется значение высоты поперечного сечения ра-мы на участке где действует температура (h s). На участке B-D примем h s =0,36м.
6 м
Рис. 6.12
Порядок расчета
1. Запишем каноническое уравнение метода сил
δ11x1t +∆1t=0.
Будем использовать ту же основную систему, что и при расчете на силовое воздействие (рис. 6.22, б). В этом случае коэффициент δ11 уже определен:
δ11 = EJ18 .
2. Найдем грузовой вектор ∆1t по выражению (6.10). Для выявления его знака построим эпюру кривизны χ (рис. 6.12, в), которая строится со стороны наибольшего значения температуры (в данном случае на левых волокнах).
Выражение ∆1t имеет знак «–», т. к. эпюра M1 и эпюра χ расположены по разные стороны от оси рамы.
3. Подставим полученное значение в уравнение метода сил:
Обратим внимание , что усилия от действия температуры прямо про-порциональны значению жесткости(в нашем примере жесткости на изгиб EJ).Зависимость от коэффициента линейного расширения α также прямопропорциональна. То есть увеличение этих параметров ведет к пропор-циональному увеличению внутренних усилий.
85 Определим значения внутренних усилий при следующих значениях коэффициента линейного расширения и жесткости на изгиб:
α=1,2⋅10-5град-1; Е=2,1⋅108кН/м2(углеродистая сталь); J=55150см4(момент инерции для двутавра №55).
Тогда величина жесткости на изгиб будет следующей: EJ=2,1⋅108⋅55150⋅10-8=1,158⋅105кНм2.
Найдем числовое значение множителя α ⋅ EJ, входящего в величину x1t
α ⋅ EJ =1,2⋅10-5⋅1,158⋅105=1,39.
Определим неизвестное x1 в числовом выражении:
∆1t = −225⋅1,2 ⋅10−5 = −270⋅10−5 x1t =12,5⋅1,39=17,375кН.
4. Эпюру M t на стойках (рис. 6.13, а) построим, умножив единичную
Рис. 6.13 |
Представим эпюру M t в числовом выражении, подставив значение множи-теля α ⋅ EJ (рис. 6.14, а).
а) | б) | в) | |||||||||||||||||
17,375 |
17,375 | ||||||||||||||||||
17,375 | |||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||
M t | Q t | N t | |||||||||||||||||
52,125 |
52,125 | ||||||||||||||||||
(кНм) | (кН) | (кН) | |||||||||||||||||
Рис. 6.14
5. Кинематическую проверку правильности построения эпюры M t выполним по выражению (6.12). Определим первое слагаемое этого выра-жения:
M | 1 | ⋅ M | t | dx = | 2 | 3 | 312.72 | ⋅10−5 | |||||||||
| (2 ⋅ 3 ⋅ 52,125) | = | = 270,052 | ||||||||||||||
∑∫ | EJ | 6 | 1,158⋅ | 105 | |||||||||||||
EJ | . |
86
К полученному значению добавим ∆1t (для выполнения проверки резуль-тат должен равняться нулю):
270,052 ⋅10−5 + 270 ⋅10−5 = 0,052 ⋅10−5
Оценим относительную погрешность, при этом множитель 10-5 опус-
тим:
ε = 0,052270 ⋅100% = 0,019 % ,
что допустимо, т. е. проверка выполняется.
6. Эпюры Q t и N t строим по аналогии с расчетом на силовое воздей-ствие. Эти эпюры показаны на рис. 6.13, б, в и на рис. 6.14, б, в.
Пример 6.1 (продолжение).Рассмотрим задачу,когда имеет место кине-матическое воздействие со стороны опоры рамы, а именно: правая опора D (жесткое защемление) поворачивается по ходу часовой стрелки на угол θ, равный 0,07 радиан (рис. 6.15, а). Требуется построить эпюры M ∆, Q ∆, N ∆ от заданного воздействия, используя метод сил.
а) б) в)
1 м А | B | x 1 | x 1 | x 1 =1 | x 1 =1 | ||
3 м |
О.с.
θ
D
3
3
6 м
Рис. 6.15 | M D =3кНм | |
Порядок расчета
1. Запишем каноническое уравнение метода сил
δ | 11 | x∆+∆ | 1∆ | = 0. | |
1 |
Будем использовать ту же основную систему, что и при расчете на силовое воздействие (рис. 6.15, б). В этом случае коэффициент δ11 уже найден:
δ11 = EJ18 .
2. Определим грузовой вектор ∆1∆ по выражению (6.14)
∆1∆ = −(M D⋅θ) = –3⋅0,07=−0,21
3. Подставим полученное значение в уравнение метода сил: EJ18 x1∆−0,21=0;откуда найдем x1∆=0,01167 EJ .
87
Обратим внимание, что усилия, возникающие в результате смещения опор, прямо пропорциональны значению жесткости на изгиб EJ.
4. Эпюру M ∆ на стойках (рис. 6.16, а) построим, домножив эпюру | ||||||||||||||||||||||||||
| x ∆: M | = | 1 ⋅ x1∆ . | |||||||||||||||||||||||
на полученное значение | M | |||||||||||||||||||||||||
M | ∆ | |||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
а) | б) | в) | ||||||||||||||||||||||||
0,0117 EJ | 0,0117 EJ |
| 0,0117 EJ | |||||||||||||||||||||||
M ∆ | Q ∆ | N ∆ | ||||||||||||||||||||||||
0,035 EJ | (кНм) | 0,035 EJ | (кН) | (кН) |
Рис. 6.16
Подставим значение жесткости на изгиб EJ=1,158⋅105 кНм2 и определим значение неизвестного метода сил (продольной силы на участке A-B) в чи-словом выражении:
x1∆=0,01167 EJ =0,01167⋅1.158⋅105=1351,04кН
Эпюру M ∆ также покажем в числовых значениях (рис. 6.17, а).
а) | б) | в) | ||||||||||||||||||||
1351,04
1351,04
1351,04
M ∆
(кН)
(кН)
(кНм)
4053
Рис. 6.17
5. Кинематическую проверку правильности построения эпюры M ∆ выполним по выражению (6.12)
1 | ⋅ M ∆ | 2 3 |
| 24318 | |||||||||||
M | dx = | ||||||||||||||
| (2 ⋅ 3 ⋅ 4053) | = | = 0,21. | ||||||||||||
∑∫ | EJ | 6 | 1,158⋅105 | ||||||||||||
EJ | |||||||||||||||
К полученному значению добавим ∆1∆ . Чтобы проверка выполнялась, ре-зультат должен равняться нулю.
0,21 + ∆1∆ = 0,21 − 0,21 = 0. Проверка выполняется.
6. Эпюры Q ∆ и N ∆ строим по аналогии с расчетом на силовое воздей-ствие. Эти эпюры показаны на рис. 6.16, б, в и на рис. 6.17, б,в.
88
2019-08-13 | 354 | Обсуждений (0) |
5.00
из
|
Обсуждение в статье: Особенности расчета СНС на температурное воздействие и на смещение опорных связей |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы