Анализ быстродействия И-регулятора

Операторная передаточная функция И-регулятора состоит из интегрирующего звена с коэффициентом усиления : . После подстановки в выражение (1) передаточной функции и преобразования получена передаточная функция САУ с И-регулятором, характеризующая систему 3-го порядка:

. (26)

Для приведения передаточной функции (25) к табличным передаточным функциям типовых структурных звеньев выполнено преобразование:

. (27)

В выражении (27) общий коэффициент усиления системы К₀ определяется формулой (4). Полученную передаточную функцию (27) можно привести к эквивалентным апериодическому звену 1-го порядка и колебательному звену 2-го порядка. Приведение звеньев можно выполнить посредством вычисления корней кубического полинома знаменателя передаточной функции (27): p₁= -a; p_2,3 = -b ± j×w и последующего разложения этого полинома на множители. Передаточная функция, приведенная к двум структурным звеньям, имеет вид:

(28)

Параметры приведенных звеньев - апериодического 1-го порядка и колебательного 2-го порядка - определяются следующими формулами:

; ; .

Для оценки соотношения приведенных постоянных времени и можно принять с некоторым приближением вещественный корень кубического полинома равным по модулю коэффициенту при квадратичном члене полинома

. (29)

Тогда приведенная постоянная времени Т_1пр будет равна обратной величине этого коэффициента:

. (30)

Приведенная постоянная времени Т_2пр и коэффициент затухания n колебательного звена 2-го порядка в значительной мере зависят от постоянных времени Т₁ и Т₂ апериодических звеньев и общего коэффициента усиления системы К₀. Апериодический характер переходной функции колебательного звена с коэффициентом затухания n=0,5 возможен при общем коэффициенте усиления, определяемом выражением:

. (31)

Тогда после некоторых преобразований свободного члена кубического полинома передаточных функций (27) и (28) получено соотношение:

С использованием формул (29) и (31) можно получить приближенную формулу для приведенной постоянной времени колебательного звена 2-го порядка с коэффициентом затухания n=0,5:

. (32)

Отсюда длительность изменения переходной функции замкнутой системы, характеризующая быстродействие ПИ-регулятора, определится выражением:

. (33)

Из соотношения выражений (30) и (32) видно, что приведенная постоянная времени колебательного звена Т_2пр существенно больше постоянной времени Т_1пр апериодического звена 1-го порядка. Поэтому длительность изменения переходной функции замкнутой системы до установившегося значения характеризуется приведенной постоянной времени колебательного звена Т_2пр. Из (32) следует, что эта приведенная постоянная времени определяется суммой существенных постоянных времени апериодических звеньев 1-го порядка САУ. Следовательно, быстродействие И-регулятора, характеризуемое интервалом времени будет существенно хуже по сравнению с П-регулятором.

Контрольные вопросы

1. Напишите формулу передаточной функции дифференцирующего, интегрирующего, форсирующего, апериодического звена 1-го порядка, колебательного звена 2-го порядка.

2. Напишите формулу передаточной функции П-, ПД-, ПИ-, И-регулятора.

3. Нарисуйте график переходной функции интегрирующего, форсирующего, апериодического звена 1-го порядка, колебательного звена 2-го порядка с коэффициентом затухания n£0,4 и n³0,7.

4. Напишите формулы времени регулирования П-, ПД-, ПИ-, И-регуляторов, выраженные через постоянные времени апериодических звеньев САР.

5. Напишите формулы общих коэффициентов усиления системы, обеспечивающих наилучшее быстродействие П-, ПД-, ПИ-, И-регуляторов.