Теорема: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания

Модуль «Геометрия»

1) (∠1,∠4); (∠2,∠3); (∠5,∠8); (∠6,∠7)- вертикальные углы (всегда равны).

2) (∠3,∠6); (∠5,∠4)- внутренние накрест лежащие углы (равны если прямые параллельны)

3) (∠3,∠5); (∠4,∠6)- внутренние односторонние углы (в сумме 180 если прямы параллельны)

4) (∠1,∠2); (∠3,∠4); (∠1,∠3); (∠2,∠4); (∠5,∠6); (∠7,∠8); (∠5,∠7); (∠6,∠8)- смежные углы (в сумме 180)

5) (∠1,∠5); (∠3,∠7); (∠2,∠6); (∠4,∠8)- соответственные углы (равны если прямые параллельны)

 

Треугольники

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника – угол смежный с каким либо углом треугольника. Равен сумме углов треугольника, не смежных с ним

 

(1) Медианатреугольника – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны (делит противоположную сторону пополам)

(2) Биссектрисатреугольника – отрезок, выходящий из вершины и делящий угол пополам

(3) Высота – выходит из вершины и падает под углом 90 на противоположную сторону (иногда на продолжение противоположной стороны)

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Равнобедренный треугольник

- треугольник, у которого две стороны равны (боковые стороны), углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают (если выходят из вершины против основания)

Равносторонний треугольник

– все стороны равны, все углы равны по 60

В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой (из любой вершины)

 

Прямоугольный треугольник

- один из его углов равен 90

Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АВ²=СВ²+АС²

 

 

Важно! Если медиана равна половине стороны которую она делит, то она выходит из вершины прямого угла

 

Признаки равенства треугольников

1) По двум сторонам и углу между ними

2) По стороне и прилежащим к ней углам

3) По трем сторонам

Признаки подобия треугольников

1) По двум равным углам

2) По двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними

3) По трем пропорциональным сторонам

Соотношение между сторонам и углами в прямоугольном треугольнике

 

Тригонометрические тождества

- основное тригонометрическое тождество

 

Площади и свойства фигур

S = 180 *(n-2)сумма углов выпуклого n-угольника

Для треугольника: S=180*(3-2)=180, если все углы равны то каждый угол по 60

Для четырехугольника: S=180*(4-2)=360, если все углы равны то каждый угол по 90

Для 5-угольника: S=180*(5-2)=540, если все углы равны то каждый угол по 108

Для 6-угольника: S=180*(6-2)=720, если все углы равны то каждый угол по 120

…

 

Треугольник.

произведение двух сторон на синус угла между ними

Формула Герона

 

2) Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны.

Свойства

1) Противоположные стороны равны (AB=DC; AD=BC)

2) Противоположные углы равны (∠А=∠С; ∠В=∠D)

3) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

4) Сумма всех его углов равна 360 (сумма смежных углов равна 180)

5) Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме двух его смежных сторон

(BD2+AC2=2(AB+AD))

S=BH*AD(высота умноженная на сторону к которой высота проведена).

 

3) Прямоугольник– параллелограмм у которого все углы прямые (по 90 )

Свойства

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам

S = AB*BC (произведение сторон)

 

4) Ромб – параллелограмм у которого все стороны равны.

Свойства

- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам

-Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

-Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на 4

(АС²+BD²=4*AB²)

Т.к. ромб – параллелограмм, то:

S = BH*AD

S= (половина произведения его диагоналей)

 

 

5) Трапеция – четырехугольник у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями, две другие- боковыми)

Равнобедренная трапеция – боковые стороны равны, углы при основаниях равны

Прямоугольная трапеция – одна из его сторон является высотой (угол между боковой стороной и основаниями 90)

Сумма углов лежащих при боковых сторонах равна 180 (∠A+∠B=∠C+∠D=180, т.к. они внутренние односторонние при параллельных основаниях)

Где H- высота трапеции, -средняя линия (соединяет середины боковых сторон)

 

6) Окружность – множество точек равноудаленных от центра (это расстояние есть радиус окружности)

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности

Если хорда проходит через центр то это диаметр

Диаметр в два раза больше радиуса

Смысл числа π: длина окружности всегда в π (≈ 3.14 ) раз больше своего диаметра

Так как d=2r, то

- длина окружности

- площадь круга

 

Касательная к окружности – прямая имеющая одну общую точку с окружностью

Теорема: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее

∠АВС- вписанный, опирается на дугу АС

 

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности

∠АОВ – центральный, опирается на дугу АВ.

Градусная мера дуги АВ равна градусной мере ∠АОВ

Теорема: