Плотность вероятности функции от случайной величины

Пусть y - случайная величина, связанная с x однозначной функциональной зависимостью вида у = f(x). Попадание случайной точки х в интервал шириной dx и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают:

. Отсюда .

Если функциональная связь между х и у неоднозначна, так что имеется несколько значений для одного значения у (х=g(у) - функция, обратная по отношению к у=f(х)), то выражение для плотности вероятности р_у(у) обобщается:

.

Многомерная плотность вероятности

Пусть имеем n случайных величин х₁,х₂, …, х_n. Можно ввести n-мерную плотность вероятности p(х₁,х₂, …, х_n), определяющую вероятность одновременного осуществления событий , , ..., ,

причем . Зная n-мерную плотность вероятности, всегда можно найти m-мерную (m < n) плотность вероятности меньшего порядка, интегрируя по лишним координатам:

.

Располагая многомерной плотностью вероятности, можно находить среднее значение любых комбинаций этих случайных величин и определять их моменты. В частности, для двумерной случайной величины будем иметь:

Новым по сравнению с одномерным случаем является смешанный момент второго порядка - ковариационный момент

или центрированный корреляционный момент

Вводят также безразмерный коэффициент корреляции

Для статистически независимых случайных величин

Статистически независимые случайные величины некоррелированы между собой:

при . Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статистическая независимость случайных величин.

Случайный процесс

Под случайным процессом понимают множество (ансамбль) случайных функций х_к(t), называемых возможными реализациями этого случайного процесса. В каждый выбранный момент времени t₁ конкретная реализация есть случайная величина с плотностью вероятности и ее среднее значение определяется усреднением по всем возможным реализациям:

Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. Для стационарных процессов плотность вероятности от времени не зависит: . Стационарный процесс называется эргодическим, если усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени в пределах одной реализации.

Кроме одномерной плотности вероятности вводят двумерную плотность вероятности совместной реализации двух значений: х₁ в момент времени t₁ и х₂ в момент времени t₂.

.

Для стационарных процессов двумерная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени

Двумерная плотность вероятности определяет дополнительный момент - автокорреляционную функцию случайного процесса.

Иногда используют нормированные автокорреляционные функции:

Для стационарного процесса:

.

Если процесс не только стационарный, но и эргодический, усреднение по множеству может быть заменено усреднением по времени в пределах одной реализации:

Условие эргодичности для стационарного процесса с нулевым средним значением:

Это определяет стремление функции корреляции к нулю с увеличением временного сдвига t. Можно ввести интервал корреляции , который определяет время статистической зависимости между мгновенными значениями случайного сигнала.