Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
также непрерывной, а - функция с ограниченным изменением. Тогда Доказательство: По заданному найдется такое N, что при n Тогда в силу (21), для n
т.к. - произвольное, то теорема доказана.
Доказательство: Докажем, что имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками Тогда для любого Перейдем к пределу при откуда и Составим суммы Стилтьеса Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех С другой стороны, если разбиение фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое N Тогда для тех же значений n Т.к. - любое, то теорема доказана. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями в направлении от к , когда . Тогда точкам ( ), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра : а выбранной на дуге точке – значение ( ). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде Эта интегральная сумма представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа по самому определению отождествляется с частным случаем интеграла Стилтьеса: Аналогично и Отсюда следуют общие условия существования криволинейного интеграла (25); достаточно предположить функцию непрерывной, а функцию имеющей ограниченное изменение (п.3, ). В частности, если кривая AB спрямляема, а функции P
Примеры.
= в)(s) = функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 скачок -2, при х=2 в остальных точках , т.к. g(x)=const (S) б функция g(x) терпит скачок 1, при х= скачок -2, при х= в остальных точках , т.к. g(x)=const (S)
а) функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 скачок 1, при х= функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 скачок 1, при х= + функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1 скачок 1, при х= + = №4 а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3] Решение. Ф(х)= Ф(а)=о => Ф(1)=0 В точке х=1 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1 В точке х=2 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2х В точке х=3 функция терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7 Итого: Ф(х)= б) Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5] Решение. Ф(х)= Ф(а)=о => Ф(1)=0 В точке х=2 функция терпит скачок =2 => Ф(х)= В точке х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)= Итого: Ф(х)= в) Выяснить распределение масс, если Ф(х) При х=-1 и 0 функция испытывает скачок =1 => массы величины 1 в точках х=-1 и 0, в промежутке [-2,-1] непрерывно распределенные массы с плотностью 1, т.к. , в промежутке [0,2] непрерывно распределенные массы с плотностью 2х, т.к. Список литературы
2. http://www.phismat.ru/dif.php
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (700)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |