Виды случайных событий. Алгебра событий

Случайная величина и вероятность события

Понятие вероятности

Алгебра событий

Основная терминология в алгебре событий

Случайная величина и вероятность события

Математическая статистика тесно связана с другой математической наукой – теорией вероятности и базируется на ее математическом аппарате.

Теория вероятности – это наука, которая изучает закономерности, порожденные случайными событиями.

Педагогические явления относятся к числу массовых: они охватывают большие совокупности людей, повторяются из года в год, совершаются непрерывно. Показатели (параметры, результаты) педагогического процесса имеют вероятностный характер: одно и то же педагогическое воздействие может приводить к различным следствиям (случайные события, случайным величинам). Тем не менее, при многократном воспроизведении условий определенные следствия появляются чаще других, – это и есть проявление так называемых статистических закономерностей (изучением которых занимаются теория вероятностей и математическая статистика).

Случайная величина (СВ) – это численная характеристика, измеряемая по ходу опыта и зависящая от случайного исхода. СВ реализуемая по ходу опыта и сама является случайной. Каждая СВ задает распределение вероятностей.

Основным свойством педагогических процессов, явлений является их вероятностный характер (при данных условиях они могут произойти, реализоваться, но могут и не произойти). Для таких явлений существенную роль играет понятие вероятности.

Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата. Вероятность невозможного события равна нулю, достоверного – единице (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1 – в зависимости от того, насколько это событие случайно.

Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события f(A) – как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений. Частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события, но и от числа (количества) наблюдений за этой СВ.

Существует два вида выборок СВ: зависимые и независимые. Если результаты измерения некоторого свойства у объектов первой выборки не оказывают влияния на результаты измерения этого свойства у объектов второй выборки, то такие выборки считаются независимыми. В тех случаях, когда результаты одной выборки влияют на результаты другой выборки, выборки считают зависимыми. Классический способ получения зависимых измерений – это двукратное измерение одного и того же свойства (или разных свойств) у членов одной и той же группы.

Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло или нет событие В. События А и В независимы, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). На практике независимость события устанавливается из условий опыта, интуиции исследователя и практики.

СВ бывает дискретной (мы можем пронумеровать ее возможные значения), например, выпадение игральной кости =4,6,2, и непрерывной (ее функция распределения F(x) – непрерывна), например, время службы лампочки.

Математическое ожидание – числовая характеристика СВ, приближенно равная среднему значению СВ:

M(x)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Понятие вероятности

Теория вероятностей - это математическая теория, которая дает описание экспериментов со случайными исходами, обладающих свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей строится как аксиоматическая теория, то есть в ее основу положена система аксиом. В свою очередь аксиомы сформулированы на основе экспериментальных данных, а именно на свойствах частоты и, в частности, на факте статистической устойчивости, состоящем в тенденции частоты появления события стать постоянной и равной некоторому числу при большом числе повторений эксперимента .

Таким образом, при построении теории необходимо ввести число называемое вероятностью события , что реализуется с помощью одной из аксиом, которая называется аксиомой существования вероятности. Далее необходимо рассмотреть основные свойства частот и выразить эти свойства как утверждения относительно свойств вероятностей. Эти утверждения вместе с постулатом существования вероятности образуют систему аксиом теории вероятностей.

Частоту можно рассматривать как результат измерения (оценивания) вероятности по экспериментальным данным. Таким образом, равенство означает, что при большом числе опытов , а ошибка имеет тенденцию снижаться с увеличением . Поскольку , то частота появления события в серии из опытов удовлетворяет условию . Аналогичному условию должна удовлетворять и вероятность: .

Рассмотрим значения вероятности на границах интервала . Пусть , тогда событие называется невозможным и обозначается символом . Для невозможного события его частота и имеет тенденцию приближаться к нулю с увеличением числа опытов. Если , то событие называется достоверным и обозначается символом . Частота достоверного события и с увеличением числа опытов имеет тенденцию приближаться к единице.

Алгебра событий

Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть - некоторое событие.

1. Дополнением события называется событие , состоящее в том, что событие не произошло. Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий таково, что исход каждого опыта – это попадание точки в область плоскости.

По определению – это событие, состоящее в том, что не произошло. Поэтому в данной интерпретации – это непопадание точки в область , то есть – попадание точки в заштрихованную область, рис.4.1.

2. Объединением (или суммой) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий или . Для объединения будем использовать обозначение или . Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть – событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также , рис. 4.2. Аналогично событие – это попадание точки в область . Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий , … . Событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий … . Очевидно операция объединения коммутативна по определению: и ассоциативна, что также следует из определения: .

3. Пересечением (или произведением) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошли оба события и . Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения или . Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие состоит в том, что происходят все события Событие состоит втом, что происходят все события . По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие: , а также ассоциативна:

.

Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:

.

Отметим, что если в для операции объединения используется знак "+", а для пересечения – отсутствие знака, то принимает хорошо знакомый вид: – закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.

Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.

Система событий называется алгеброй событий, если для любой пары событий и из условий следует, что события , , , содержатся в .

Говорят, что алгебра событий – это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.