Выборочное среднее значение

Выборочное среднее значение – статистика, ожидаемая степень изменчивости которой от выборки к выборке из данной генеральной совокупности меньше, чем изменчивость самих выборочных данных (в статистике доказывается, что среднеквадратичное отклонение выборочного среднего; аналогично для выборки). Известно также, что выборочное среднее – несмещенная оценка среднего генеральной совокупности (математического ожидания случайной величины). Однако и выборочное среднее остается (в отличие от математического ожидания!) случайной величиной. Тем самым для выборочного среднего имеют смысл собственные статистики – выборочное среднее, дисперсия и т.д.

Задача определения доверительных интервалов для среднего выборки – классическая задача статистики. Типичны три случая:

Ø генеральная совокупность распределена по нормальному закону c известным стандартным отклонением – для решения задачи используются параметры нормального закона; Пусть, например, имеется случайная выборка длиной со средним значением , взятая из генеральной совокупности длиной с известным стандартным отклонением . Тогда 95% доверительный интервал для неизвестного значения  среднего генеральной совокупности (математического ожидания) вычисляется следующим образом, т.е. с надежностью 95% можно утверждать, что среднее генеральной совокупности лежит в интервале между 90.89 и 109.11.

Ø генеральная совокупность распределена по нормальному закону, но среднеквадратичное отклонение неизвестно, а длина выборки n менее 30 – для решения задачи используются параметры t-распределения Стьюдента с (n-1) степенью свободы;Пусть, например, имеется случайная выборка длиной со средним значением и выборочным среднеквадратичным отклонением . Тогда 95% доверительный интервал для неизвестного значения среднего генеральной совокупности (математического ожидания) вычисляется следующим образом:

т.е. с надежностью 95% можно утверждать, что среднее генеральной совокупности лежит в интервале между 65.363 и 134.637.

Ø распределение генеральной совокупности неизвестно, но известно ее стандартное отклонение – для решения задачи используется K – параметр из теоремы Чебышева (анализ, не зависящий от формы распределения). Пусть, например, имеется случайная выборка длиной со средним значением , взятая из генеральной совокупности длиной с известным стандартным отклонением . Тогда 95% доверительный интервал для неизвестного значения среднего генеральной совокупности (математического ожидания) вычисляется следующим образом: , где Kвычисляется по чебышевской формуле . В результате имеем , т.е. с надежностью 95% можно утверждать, что среднее генеральной совокупности, из которой взята выборка, лежит в интервале между 28.321 и 171.679.

Библиография

1. Ермолаев, О.Ю. Математическая статистика для психологов /
О.Ю. Ермолаев. – М.: МПСИ: Флинта. – 2002. – 325 с.

2. Наследов, А.Д. Математические методы в психологическом исследовании. Анализ и интерпретация данных / А.Д. Наследов. – СПб.: Речь. – 2004.

3. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: ООО «Речь». - 2004. – 350 с.

4. Бурлачук, Л.Ф., Морозов С.М. Словарь – справочник по психодиагностике / Л.Ф. Бурлачук, С.М. Морозов – СПб: Питер Ком. - 1999. – 528 с.

5. Суходольский, Г. В. Математические методы в психологии /
Г.В. Суходольский. - Харьков: Изд-во Гуманитарный Центр. – 2006. – 512 с.

6. Тарасов, С.Г. Основы применения математических методов в психологии / С.Г. Тарасов. – СПб.: Изд-во: Санкт-Петербург. ун-та. – 1999. – 326 с.

7. Глинский, В. В., Ионин, В. Г. Статистический анализ данных /
В.В. Глинский, В.Г. Ионин. – М.: Филин. – 2008. – 265 с.

Лекция 6