Принцип тождественности. Фермионы и бозоныВажнейшим принципом, используемым при описании квантовых газов, является принцип тождественности, т.е. принцип неразличимости одинаковых по природе (обладающих одинаковой массой, зарядом, спином) микрочастиц, входящих в состав квантового газа. Этот принцип означает в случае квантовых объектов, что обмен местами двух частиц, находящихся в состояниях, описываемых волновыми функциями Y1 и Y2 , не является "физическим событием", т.е. не изменяет состояние системы. Если, например, после взаимодействия (столкновения) двух таких тождественных частиц мы обнаруживаем одну из них вблизи некоторой точки пространства, то не существует возможности указать, какая именно из них туда попала. В простейшем случае системы двух слабовзаимодействующих микрочастиц частицы "1" и "2" можно считать свободными и описывать волновыми функциями, представляющими плоские волны: с волновыми векторами
Если частицы тождественны, то полная волновая функция, описывающая вероятность одновременного обнаружения их в точках
откуда следует, что
Волновая функция, удовлетворяющая этому равенству с положительным знаком, называется симметричной, а с отрицательным знаком – антисимметричной. Знак соотношения (3.4) определен фазовым множителем. Преобразуем соотношение (3.4) к виду:
Тогда знаку "плюс" соответствует Микрочастицы, для которых волновые функции тождественных состояний, интерферируют в фазе, т.е. являются симметричными, называются бозонами. Микрочастицы, для которых волновые функции тождественных состояний, интерферируют в противофазе, т.е. являются антисимметричными, называются фермионами. При этом оказывается, что фермионы обладают полуцелым спином, т.е. проекция спина на выделенное направление Фермионы и бозоны вследствиеих различного поведения в коллективе себе подобных микрочастиц подчиняются разным квантовым статистикам, т.е. функции распределения их по квантовым состояниям различны. Квантовое состояние микрообъекта однозначно определяется видом волновой функции (с учетом спина), которая, в свою очередь, однозначно определяет его динамические параметры через соответствующие квантовые числа. В случае идеального квантового газа, в котором волновые функции микрочастиц можно рассматривать как плоские (или сферические) волны Волновая функция системы двух тождественных частиц, как уже отмечалось, есть суперпозиция волновых функций, описывающих тождественные состояния, отличающиесяих перестановкой. Рассмотрим "попадание" двух частиц в одинаковое квантовое состояние. Если бы частицы были неразличимы, вероятность обнаружения в данной точке (в данном состоянии) одной из них не зависела бы от того, есть ли там другая частица. В случае же тождественных бозонов вероятность обнаружения в данном квантовом состоянии одного из них в присутствии другого увеличивается, т.е. присутствие одной частицы в данном состоянии влияет на другую, увеличивая вероятность "попадания" ее в это состояние в два раза по сравнению с тем случаем, когда состояние не занято. Другими словами, между тождественными частицами возникает некоторое взаимодействие, которое называется обменным. Оно не имеет аналогов в классической физике и формально вводится в квантово-механические соотношения через потенциал взаимодействия, характеризующий "статистическое притяжение" бозонов. В случае фермионов вероятность обнаружения в данном квантовом состоянии одного из них в присутствии другого равна нулю, т.е. в данном квантовом состоянии в данной точке нельзя обнаружить одновременно два фермиона (подразумевается, что они обладают одинаково направленными спинами, т.е. состояния полностью тождественны). Другими словами, полученный для фермионов результат означает, что они подчиняются принципу Паули: в данном квантовом состоянии в данный момент времени в данной точке может находиться не более одного фермиона. По аналогии со "статистическим притяжением" бозонов это можно рассматривать,каксвоеобразное "статистическое отталкивание" фермионов. Распределение частиц по квантовым состояниям. Виды квантовых статистик Основной задачей квантовой статистики является определение числа Обычно вводится функция распределения частиц по энергиям
Число частиц с данной энергией Как следует из предыдущего рассмотрения характер заполнения квантового состояния фермионами и бозонами различен, что определяет различие в их функциях распределения. Для бозонов - это функция распределения Бозе-Эйнштейна ( · Квантовая статистика бозонов была создана в 1924-1925 гг. А.Эйнштейном и индийским физиком Ш.Бозе; квантовую статистику фермионов в 1925-1926 гг. независимо друг от друга разработали итальянский и английский физики-теоретики Э.Ферми и П.Дирак. Для функций распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака имеем, соответственно, следующие выражения:
где Далее остановимся более подробно на каждом из двух типов квантовых газов. Бозе–газ В этом случае имеет место распределение Бозе-Эйнштейна:
где
Как видно из рисунка, с уменьшением энергии функция распределения Бозе-Эйнштейна стремиться к бесконечности, т.е. среднее число бозонов в квантовом состоянии быстро растёт. Поэтому можно сказать, что бозоны - “коллективисты”. Интересный характер поведения имеет бозе-газ при Таким образом, при приближении к абсолютному нулю бозе-частицы все более и более будут накапливаться на нижнем энергетическом уровне Это явление получило название бозе-эйнштейновской конденсации. Разумеется, такая «конденсация» не имеет ничего общего с конденсацией пара в жидкость. 2) Ферми-газ В случае ферми-газа имеет место распределения Ферми – Дирака:
В отличие от (3.8), химический потенциал График функции распределения Ферми – Дирака
Это означает, что при Т = 0 частицы ферми-газа заполняют все квантовые состояния с энергиями Таким образом, при Т = 0
В заключение заметим, что функции распределения бозе-газа и ферми-газа отличаются только знаком перед единицей в знаменателе дроби, но этот знак приводит к принципиальным физическим различиям в области малых значений энергии, когда В случае же больших энергий, когда
т.е. переходят в классическое распределение Больцмана (см. рис. 3.7).
4. Внутренняя энергия твердого тела Читайте также: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ![]() ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2500)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |