Общая формулировка исходной и двойственной задач ЛП

 

	Исходная	Двойственная
Цель	max:	min:
Ограничения

 

 

4.3 Решение двойственной задачи об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха с помощью MS Excel

1. Организуйте данные так, как показано на рис. 12.

Рисунок 12 – Организация данных на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха

2. Вызовите «Поиск решения»,заполните окно согласно модели. Не забудьте отметить в параметрах минимизации, что это линейная модель.

3. Решение двойственной задачи представлено на рис. 13.Обратите внимание, что цена ресурса «Стекло» y₂= 0. Подумайте почему.

Рисунок 13 – Результат решения на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха

 

Задание 1. Задача ЛП

 

Выберите вариант задания согласно вашему порядковому номеру в списке группы.

1. Постройте экономико-математическую модель задачи линейного программирования (ЗЛП), дайте необходимые комментарии к ее элементам.

2. Сформулируйте двойственную задачу к ЗЛП, постройте экономико-математическую модель двойственной задачи.

3. Решите исходную и двойственную задачи при помощи надстройки «Поиск решения» MS Excel, выведите отчеты об устойчивости для исходной и для двойственной задач, поясните результаты.

 

Вариант 1

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество питательных веществ в 1 кг корма
1 вид корма	2 вид корма
A
B
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

Вариант 2

Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных. Отпускная цена автомашины первой марки 2 000 ден. ед., второй марки 4 000 ден.ед. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 ден. ед. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была максимальной.

Вариант 3

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется,по меньшей мере,10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Вариант 4

На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

 

Вариант 5

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси - Е» и «Дикси - В». Цецы на акции: «Дикси - Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси - В» — 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук. По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси - Е» — 1,1 долл.; «Дикси - В» — 0,9 долл.

Вариант 6

При производстведвух 2 видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары	Общее количество ресурсов
1-го вида	2-го вида

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

 

Вариант 7

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника».

Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Вариант 8

Имеются два проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас, и полезная площадь дома каждого проекта приведены в таблице. Определить, сколько домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей.

Стройматериалы	Расход стройматериалов (м3) на один дом	Запас строй материалов, м3
I	II
Кирпич силикатный
Кирпич красный
Пиломатериалы
Полезная площадь, м2			-

Вариант 9

Сельскохозяйственное предприятие может приобрести тракторы марок М₁ и М₂ для выполнения работ Р₁, Р₂и Р₃. Производительность тракторов при выполнении указанных работ, общий объем работ, и стоимость каждого трактора приведены в таблице.

Найти оптимальный вариант приобретения тракторов, обеспечивающий выполнение всего комплекса работ при минимальных денежных затратах на технику.

Вид работ	Обьем работ, га	Производительность трактора марки
M1	M2
P1
P2
P3
Стоимость трактора, ден. ед.

Вариант 10

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. протеина, 10 ед. углеводов. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 ден.ед., второго – 6 ден.ед.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

Питательные вещества	Количество питательных веществ в 1 кг корма
1 вид корма	2 вид корма
Белки
Углеводы
Протеины

Вариант 11

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие, кг	Общее количество сырья, кг
A	B
I
II
III
Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед.			-

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделий А.

 

Вариант 12

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

 

Вариант 13

При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные приведены в таблице.

Запасы сырья	Расход сырья на единицу продукции
1 вид продукции	2 вид продукции
Прибыль

 

 

Вариант 14

Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика применяет древесину четырёх видов, запасы которой ограничены и составляют соответственно: 12, 16, 12, 8 единиц. Количество единиц древесины для изготовления 1 шкафа и 1 буфета даны в таблице. Требуется составить такой план выпуска продукции, который обеспечивает наибольший доход, если от реализации шкафов получено 2 д. ед. дохода, а буфетов – 3 д. ед. дохода.

Ресурсы	Запасы	Расход
1 шкаф	1 буфет
		---	0,4
		0,4	---
		0,2	0,2
		0,1	0,2
Доход	2 ден. ед.	3 ден. ед.

Вариант 15

При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья (исходные данные приведены в таблице). Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Запасы сырья	Расход сырья на ед. продукции
1 вид продукции	2 вид продукции
Прибыль	40 ден. ед.	50 ден. ед.

Вариант 16

Для кормления коров используются концентрированные и грубые корма. Один кг концентрата содержит 1 кормовую единицу и 0,08 протеина. Один кг грубых кормов содержит 0,25 кормовых единиц и 0,04 протеина. Суточный рацион одной коровы должен содержать не менее 10 кормовых единиц и не менее 1,2 единиц протеина. Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления при условии, чтобы стоимость рациона была минимальной, если 1 кг концентрата стоит 5 ден. ед., а 1 кг грубых кормов – 2 ден.ед.

Вариант 17

В рационе животных используют два вида кормов. Животные должны получать 3 вида веществ (исходные данные приведены в таблице). Составить рацион кормления, обеспечивающий минимальные затраты.

Необходимое кол-во веществ	Содержание питательных веществ
№1	№2
Стоимость ед. корма

Вариант 18

На предприятии выпускается два вида изделий, при этом используется три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль. Исходные данные приведены в таблице:

Тип сырья	Норма затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы сырья
№1	№2
Цена изделия			-

Вариант 19

На свинокомплексе производится откорм свиней, причём каждое животное должно получать 6 единиц вещества А; 8 единиц вещества В; 12 единиц вещества С. Для откорма нужно закупить 2 вида кормов: в I корме содержится 2 ед. вещества А; 1 ед. вещества В; 3 ед. вещества С; во II корме содержится 1 ед. вещества А; 2 ед. вещества В; 4 ед. вещества С. Стоимость 1 ед. корма I вида равна 2 ден. ед. Стоимость 1 ед. корма II вида равна 3 ден. ед.

Сколько надо закупить каждого вида корма, чтобы обеспечить наиболее дешёвый рацион питания.

Вариант 20

Фермер в своем хозяйстве может одновременно откармливать до 500 уток и гусей. Откорм одной утки обходится (в среднем) 10 руб., а одного гуся — в 30 руб. Магазин согласен закупить откормленных птиц по следующим ценам: 30 руб. за утку, 70 руб. за гуся. Фермер может выделить на откорм птиц 9000 руб. В каком количестве следует откармливать уток и гусей, чтобы получить максимальную прибыль?

 

 

Вариант 21

Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных удобрений в чистом виде. В продаже были только 2 смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси I — содержит 2 единицы калийных удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7 единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси стоят одинаково — по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси, необходимой для внесения в почву, чтобы при этом затратить на всю покупку как можно меньше денег?

Вариант 22

В швейном цехе имеется 380м ткани. На пошив одного платья требуется 5 м ткани, а на одну юбку 3м. Трудоемкость пошива платья 7 чел. часа, а юбки 4 чел.час. В мастерской работают 10 человек по 8 часов в день 5 дней в неделю. Сколько следует изготовить платьев и юбок для получения наибольшей стоимости продукции, если платье стоит 10., а юбка — 7 у.е..

Вариант 23

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Виды сырья	Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
А	В
I
II
III
Прибыль от реализации одного изделия			-

Определите производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.

 

 

Вариант 24

Содержание витаминов А и С в .1 кг фруктов задано таблицей:

Фрукты	Витамины
А(мг)	С(мг)
Вишня
Абрикосы
Дневная норма витаминов(мг)

Сколько килограммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 40 руб а 1 кг абрикосов — 50 руб.

Вариант 25

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовки	Количество заготовок при раскрое по способу
№1	№2
I
II
III
Величина отходов

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы получить заготовок не меньше нужного количества при минимальных отходах.

 

Транспортная задача

Четыре фабрики и их производственные возможности в условных единицах (за определенный период времени) показаны ниже:

Кострома	200
Владимир	150
Краснодар	225
Рязань	175

 

Произведенный товар распределяется и развозится в следующие города-потребители в указанном количестве:

Брянск	Рязань	Ростов	Москва	Казань
100	200	50	250	150

(За тот же период времени)

Транспортные расходы (стоимость перевозки ед. продукции) с каждой фабрики в каждый центр распределения

	Брянск	Рязань	Ростов	Москва	Казань
Кострома	1,5		1,75	2,25	2,25
Владимир	2,5		1,75		1,5
Краснодар		1,5	1,5	1,75	1,75
Рязань		0,5	1,75	1,75	1,75

 

Необходимо спланировать перевозки так, чтобы транспортные расходы были минимальны.

Данная задача является сбалансированной, т.к. объемы производства = спросу (200+150+225+175=750, 100+200+50+250+150=750). Если задача несбалансированна, то вводят фиктивного потребителя (при излишке запасов) или фиктивного производителя (при дефиците запасов).