Метод Гаусса с выбором главного элемента
Метод Гаусса относится к точным методам решения. Если исключить погрешности округления при вычислениях (использовать обыкновенные дроби), то за конечное число операций можно получить точное решение. Анализ алгоритма решения показывает, что точность определяется значениями коэффициентов, расположенных на главной диагонали Метод имеет малые погрешности округления при условии если матрица системы хорошо обусловлена. Матрица
Откуда следует, что если система имеет решение - Метод Гаусса с выбором главного элемента надежен, прост и наиболее выгоден для систем ЛАУ с плотно заполненной матрицей. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений Метод простой итерации Система уравнений приведена к виду: X = G(X)
Если она задана в виде: X = F(X)+X.
В этом случае решение ищется по следующей итерационной формуле:
Xk = G(Xk-1). Итерации прекращаются, когда ║Xk-Xk-1 ║≤ ε1, ε1 – заданная погрешность решения. Не всегда имеет место сходимость найденного решения к точному. Для того, чтобы сходимость имела место необходимо выполнение условия:
│∂G/∂Х│< 1.
Метод простой итерации является методом первого порядка, т.е.
║Хк – Х*║ ≤ с║Хк-1 – Х*║, где с – постоянная величина.
Метод Ньютона Система нелинейных уравнений может быть записана виде: F(X) = 0
f2(x) = 0 ……….. fn(x) = 0
Х = (х1; х2; …; хn) Мы линеаризуем эту функцию в точке Хк-1 , т.е. приведем к линейному виду. Для этого раскладываем в ряд Тейлора.
где Xk= Xk-1+ ∆Xk .
∂f2/∂x1; ∂f2/∂x2;….∂f2/∂xn; ∂F/∂X = ………………………………… – матрица первых производных. ∂fn/∂x1; ∂fn/∂x2;…..∂fn/∂xn
Итерационный процесс заканчивается, когда ║∆Xk ║≤ ε1
║ F(Xk ) ║≤ ε2, где норма вектора отождествляется с его длиной:
║А║ = √ А12 + А22 + …. +Аn2, А= (А1, А2, …Аn)
Недостатком метода является то, что не всегда имеет место сходимость решения. Если имеется сходимость, то она носит квадратичный характер, т.е.
║Хк – Хк-1║2≤║Хк – Х*║,
где Х* - точное решение.
Для линейной системы уравнений решение находится за одну итерацию.
Читайте также: Воспитание устойчивости, как главного требования к технике классического танца. Рекомендуемые страницы: Читайте также: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1272)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |