Метод Гаусса с выбором главного элемента
Метод Гаусса относится к точным методам решения. Если исключить погрешности округления при вычислениях (использовать обыкновенные дроби), то за конечное число операций можно получить точное решение. Анализ алгоритма решения показывает, что точность определяется значениями коэффициентов, расположенных на главной диагонали Метод имеет малые погрешности округления при условии если матрица системы хорошо обусловлена. Матрица
Откуда следует, что если система имеет решение - Метод Гаусса с выбором главного элемента надежен, прост и наиболее выгоден для систем ЛАУ с плотно заполненной матрицей. Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений Метод простой итерации Система уравнений приведена к виду: X = G(X)
Если она задана в виде: X = F(X)+X.
В этом случае решение ищется по следующей итерационной формуле:
Xk = G(Xk-1). Итерации прекращаются, когда ║Xk-Xk-1 ║≤ ε1, ε1 – заданная погрешность решения. Не всегда имеет место сходимость найденного решения к точному. Для того, чтобы сходимость имела место необходимо выполнение условия:
│∂G/∂Х│< 1.
Метод простой итерации является методом первого порядка, т.е.
║Хк – Х*║ ≤ с║Хк-1 – Х*║, где с – постоянная величина.
Метод Ньютона Система нелинейных уравнений может быть записана виде: F(X) = 0
f2(x) = 0 ……….. fn(x) = 0
Х = (х1; х2; …; хn) Мы линеаризуем эту функцию в точке Хк-1 , т.е. приведем к линейному виду. Для этого раскладываем в ряд Тейлора.
где Xk= Xk-1+ ∆Xk .
∂f2/∂x1; ∂f2/∂x2;….∂f2/∂xn; ∂F/∂X = ………………………………… – матрица первых производных. ∂fn/∂x1; ∂fn/∂x2;…..∂fn/∂xn
Итерационный процесс заканчивается, когда ║∆Xk ║≤ ε1
║ F(Xk ) ║≤ ε2, где норма вектора отождествляется с его длиной:
║А║ = √ А12 + А22 + …. +Аn2, А= (А1, А2, …Аn)
Недостатком метода является то, что не всегда имеет место сходимость решения. Если имеется сходимость, то она носит квадратичный характер, т.е.
║Хк – Хк-1║2≤║Хк – Х*║,
где Х* - точное решение.
Для линейной системы уравнений решение находится за одну итерацию.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1651)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |