Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Алгебраизация обыкновенных дифференциальных уравнений




Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

При известных начальных условиях t = t0, Х0

Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов.

В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов.

В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей.

Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений.

Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрирования h.

Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать

 

Ш =(tk – t0) /h,

где Ш – число шагов интегрирования.

Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей:

1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования).

2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.

 

Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов.

Методы интегрирования делятся на явные и неявные.

В явных методах решение определяется явным способом:

Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).

 

В неявныхметодах, находят решение системы уравнений:

F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.

 

Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые.

В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага.

В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.

 

Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности.

ε ~ ψ(t)hn, где nпорядокметода.

 

 

 

Явные методы

 

Применяют, когда производная выражена явно: , т.е. в нормальной форме Коши.

Известны начальные условия:

t = t0; X = X0

Разложим в ряд Тейлора интегральную кривую xj(t) в окрестности точки tk:

xj (tk+1) = xj(tk) + dxj(tk)/dt *h + (1/2!) d2x(tk)/dt2 * h2+…

h = tk+1 -tk

dxj(tk)/dt = fj( xk, tk)

d2xj(tk)/dt2 =[ fj( xk, tk) - fj( xk-1, tk-1) ]/h

 

- общая формула всех явных методов.

 

Метод Эйлера

Это - метод первого порядка. Расчет ведется по формуле

Xk+1= Xk+ h F(Xk,tk).

Она получается из общей формулы при p = 1.

Методическая погрешность метода оценивается старшим отбрасываемым членом.

На некотором интервале t0,t суммарная накопленная погрешность ε ,

где 0(h2)- величина, ограниченная по сравнению с h2.

 

 




Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (843)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)