Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь

Алгебраизация обыкновенных дифференциальных уравнений





Требуется найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

При известных начальных условиях t = t0, Х0

Алгебраизация заключается в сведении системы ОДУ к системе конечных (алгебраических) уравнений, решаемых одним из изученных методов.

В случае линейных ОДУ их алгебраизация производится с использованием символьного или операторного методов.

В общем случае как линейных, так и нелинейных ОДУ алгебраизация ОДУ заключается в аппроксимации производных некоторыми выражениями, например отношениями конечных разностей.

Вид аппроксимирующего выражения влияет на точность, устойчивость и скорость вычислений. Методы интегрирования ОДУ различают по виду таких выражений.

Очевидно, что аппроксимация производных некоторыми конечными выражениями, выполненная при некотором значении времени tk справедлива лишь в окрестности этой точки, ограниченной величиной шага интегрирования h.

Для нахождения зависимости на интервале от 0 до Tk необходимо сделать

 

Ш =(tk – t0) /h,

где Ш – число шагов интегрирования.

Численное решение является приближенным. Оно имеет 2 группы погрешностей:

1) Методические, связанные с аппроксимацией производных (они зависят от метода интегрирования).

2) Округления – обусловленные конечной точностью представления чисел в ЭВМ.

 

Различают также локальныепогрешности, допущенные на одном шаге интегрирования и накопленные, на определенном интервале за много шагов.

Методы интегрирования делятся на явные и неявные.

В явных методах решение определяется явным способом:

Xk+1 = f(Xk; Xk-1; tk+1).

 

В неявныхметодах, находят решение системы уравнений:

F(Xk+1; Xk; …. tk+1)= 0.

 

Различают по характеру изменения накопленной погрешности на устойчивые и неустойчивые.

В устойчивом - погрешность растёт монотонно с увеличением шага.

В неустойчивом – начиная с некоторого критического значения шага интегрирования происходит резкий (катастрофический) рост погрешности.

 

Различают методы различных порядков по величине накопленной погрешности.



ε ~ ψ(t)hn, где nпорядокметода.

 

 

 

Явные методы

 

Применяют, когда производная выражена явно: , т.е. в нормальной форме Коши.

Известны начальные условия:

t = t0; X = X0

Разложим в ряд Тейлора интегральную кривую xj(t) в окрестности точки tk:

xj (tk+1) = xj(tk) + dxj(tk)/dt *h + (1/2!) d2x(tk)/dt2 * h2+…

h = tk+1 -tk

dxj(tk)/dt = fj( xk, tk)

d2xj(tk)/dt2 =[ fj( xk, tk) - fj( xk-1, tk-1) ]/h

 

- общая формула всех явных методов.

 

Метод Эйлера

Это - метод первого порядка. Расчет ведется по формуле

Xk+1= Xk+ h F(Xk,tk).

Она получается из общей формулы при p = 1.

Методическая погрешность метода оценивается старшим отбрасываемым членом.

На некотором интервале t0,t суммарная накопленная погрешность ε ,

где 0(h2)- величина, ограниченная по сравнению с h2.

 

 





Читайте также:

D.3. Системы эконометрических уравнений
Большим числом уравнений и сложностями составления графа состояний и переходов
Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Если в математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных правильных и неправильных дробях.
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Постановка задач для уравнений параболического типа
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.



Рекомендуемые страницы:


Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...

©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (573)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.003 сек.)