Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический Университет» Кафедра электротехники и электрических машин
Конспект лекций По дисциплине «Численные методы расчета Электрооборудования» для студентов направления 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника» Квалификация выпускника – магистр
Разработал: к.т.н., доц. И.Н. Автайкин
Обсужден на заседании кафедры электротехники и электрических машин 25 августа 2015 г. (протокол № 1) Секретарь кафедры к.т.н., доц. С.А. Попов
2015 г. Лекция № 1 (2 часа) По дисциплине «Численные методы расчета электрооборудования» Тема № 1. Решение нелинейных уравнений
Цели: 1. Формирование следующих компетенций: ОПК-2: Способностью применять современные методы исследования, оценивать и представлять результаты выполненной работы. . 2. Формирование уровня обученности: Знать: основные математические методы исследования электрооборудования. Уметь: оценивать и анализировать результаты исследования. Владеть: современными методами и математическими алгоритмами исследования электрооборудования. Материальное обеспечение: Учебные вопросы
1. Метод бисекции. 2. Метод секущих (хорд). 3. Метод простых итераций. 4. Метод Ньютона (касательных). Литература 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 631с. 2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Учебн. пособие- М.: Наука, 2011.- 535с.
Решение нелинейных уравнений Пусть дано нелинейное уравнение вида: , (1) где - функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения, которые при подстановке в данное уравнение превращают его в числовое равенство. Для решения данных уравнений применяют численные методы, которые являются приближенными с заданной степенью точности и состоят из двух этапов: 1. Находятся отрезки , внутри которых содержится один корень . Этот этап называется отделением корней или локализацией корней. По сути, на данном этапе осуществляется грубое нахождение корней . 2. Грубое значение каждого корня уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуется последовательные приближения. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции) Допустим, что на отрезке [а,b], расположено искомое значение корня х=с, т. е. с ϵ [а,b]. В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка: Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и [со,b], т.е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а,b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка и т. д.
Таким образом, k-е приближение вычисляется как
После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k - итераций он сокращается в 2к раз:
Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 1. Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала становится меньше заданной величины точности - нахождения корня. Рисунок 1 Графическая интерпретация нахождения корней функции методом бисекции
Рисунок 2 Алгоритм метода бисекции
Метод секущих (хорд)
Данный метод при одних и тех же начальных условиях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод бисекции. При использовании метода хорд отрезок [а,b], делится не пополам, а в отношении . Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и , что иллюстрирует рисунок 3. В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2): Подставляя значения получим уравнение хорды AB: . Таким образом, первое приближение к корню, полученное методом секущих:
Теперь возьмем координаты x1 и b и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:
Повторять операцию следует до тех пор, пока xi-xi-1< не станет меньше или равно заданному значению погрешности.
Рисунок 4 Графическая интерпретация нахождения корней функции методом хорд
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (622)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |