Метод простых итераций
Рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней. Представим исходное уравнение в виде . Пусть нам известно начальное приближение к корню . Подставив его в правую часть уравнения получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее, . Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле , сходится к корню уравнения .
Теорема.Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке [a;b], причем все ее значения . Тогда, если выполняется условие при : a<x<b 1) процесс итерации сходится не зависимо от начального значения ; 2) предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке . Рассмотрим графически процесс получения приближений в методе простых итераций (рис.5). Необходимо отыскать точку пересечения кривой и прямой . На рисунке 5, (а) изображена некоторая кривая , которая может представлять собой любую функцию, но сейчас для нас важно то обстоятельство, что производная этой функции в окрестности корня . Пусть - корень уравнения, который, естественно, предполагается неизвестным. Выберем начальное приближение в точке . Следующее приближение . Для того, чтобы отобразить на графике можно провести через точку прямую, параллельную оси , до пересечения с прямой , а затем в точке пересечения этих прямых опустить перпендикуляр на ось , который и отметит положение точки . Аналогично получаются все последующие приближения. Из рисунка видно, что они сходятся к корню. Напомним, что для рассмотрения мы взяли функцию, производная которой .
Рисунок 5. Метод простых итераций: а) односторонний сходящийся процесс; б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
Рассмотрим теперь другую функцию , производная которой отрицательна, по абсолютному значению. Этот случай изображен на рисунке 5, в). Последовательные приближения также сходятся к корню, но на этот раз каждое последующее приближение находится с противоположной стороны от корня. В то время как в первом случае все последовательные приближения находились с одной стороны от корня. Наконец, рассмотрим случай, когда произвольная функции (рис. 5, б) и (рис. 5, г). В обоих случаях каждое последующее приближение отстоит дальше от корня, т.е. итерационный процесс расходится. Из сказанного выше можно предположить, что итерационный процесс сходится при условии, что производная .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (507)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |